Üslü Sayı Denklemi Toplamı

Merhaba Fatih, hadi bu güzel üslü sayı sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Bize verilen denklemde, a, b, c ve d'nin birer pozitif tam sayı olduğu belirtilmiş. Bizden istenen ise, a artı b artı c artı d toplamının en az kaç olacağı.

İlk olarak, üç tabanındaki üç farklı üslü ifadenin toplamının, yine üçün bir kuvvetine nasıl eşit olabileceğini analiz edelim. Kolaylık olsun diye üslere yeni değişkenler verelim.

Genelliği bozmadan, p'nin en küçük veya diğerlerine eşit olduğunu varsayalım. Bu durumda denklemimizi yazalım.

Denklemin sol tarafını en küçük üs olan p parantezine alalım. Böylece parantez içindeki ifadeyi inceleyebiliriz.

Eşitliğin sağ tarafı üçün bir kuvveti olduğu için, sol taraftaki parantez içi de mutlaka üçün bir kuvveti olmalıdır. Yani bir artı üç ustu q eksi p artı üç ustu r eksi p ifadesi üçün bir katı olmalıdır.

Eğer q, p'den büyük olsaydı, parantez içindeki ikinci ve üçüncü terimler üçe tam bölünecekti. Fakat buradaki artı bir sayısı yüzünden parantez içi üçe bölündüğünde bir kalanını verecekti. Bu durum üçün bir kuvveti olmasıyla çelişir. Dolayısıyla, q'nun p'ye eşit olması gerekir.

Şimdi parantez içini düzenlersek, iki artı üç ustu r eksi p ifadesini elde ederiz. Eğer r, p'den büyük olsaydı, bu ifade üçe bölündüğünde iki kalanını verirdi ve yine üçün bir kuvveti olamazdı. Bu yüzden r de p'ye eşit olmak zorundadır.

Böylece parantez içi iki artı birden üç, yani üçün birinci kuvveti olur. Buradan p, q ve r'nin birbirine eşit olması gerektiği sonucuna kesin olarak ulaşırız.