Untersuchung von Sinusfunktionen und Ableitungen
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Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = 3 \sin(2x) + 1, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_h$.
4.4 Ergänzen Sie die Skalierung im nebenstehenden Koordinatensystem. (2 Punkte)
4.5 Beschreiben Sie eine Vorgehensweise zur Bestimmung der Koordinaten von zwei Wendepunkten für $x \le 0$. Geben Sie die Koordinaten für zwei dieser Punkte an. (3 Punkte)
4.6 Begründen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch sind. (4 Punkte)
(1) Die Ableitungsfunktion $h'$ von $h$ hat die gleiche Periode wie $h$.
(2) Die zweite Ableitungsfunktion $h''$ von $h$ hat die gleiche Amplitude wie $h$.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem ohne Achsenskalierung zeigt den Graphen $K_h$ einer Sinusfunktion. Die x-Achse ist horizontal, die y-Achse vertikal eingezeichnet. Die Funktion oszilliert erkennbar um eine Mittellinie, die über der x-Achse liegt. Das Gitter ist sichtbar, aber nicht beschriftet. Der Graph zeigt mehrere Maxima und Minima.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Gegeben ist die Funktion h von x gleich drei mal Sinus von zwei x plus eins. Wir schauen uns nun drei Teilaufgaben dazu an.
Untersuchung der Funktion $h(x) = 3\sin(2x) + 1$
In Aufgabe vier Punkt vier sollen wir die Skalierung im Koordinatensystem ergänzen. Betrachten wir dafür die Funktionsgleichung.
Die Amplitude der Sinuskurve ist drei und sie ist um eins nach oben verschoben. Das bedeutet, der Mittelwert liegt bei eins.
Die Maxima liegen also bei eins plus drei, also vier. Die Minima liegen bei eins minus drei, also minus zwei.
Schauen wir uns das Schaubild an. Die y-Achse hat Gitterlinien. Da das Maximum zwei Einheiten oberhalb der x-Achse liegt und das Minimum vier Einheiten darunter, entspricht ein Kästchen auf der y-Achse genau einer Einheit.
y-Achse: 1 Kästchen = 1 Einheit
Die Periode berechnet sich aus zwei Pi geteilt durch den Faktor b, hier also zwei. Die Periode ist somit Pi.
Ein vollständiger Wellenberg und ein Wellental erstrecken sich über Pi. Im Gitter sehen wir, dass eine Periode vier Kästchen breit ist. Ein Kästchen auf der x-Achse entspricht also Pi Viertel.
x-Achse: 4 Kästchen = $\pi \Rightarrow$ 1 Kästchen = $\frac{\pi}{4}$
Kommen wir zu vier Punkt fünf: Bestimmung von zwei Wendepunkten für x kleiner gleich null.
4.5 Wendepunkte ($x \leq 0$)
Bei einer reinen Sinusfunktion ohne Phasenverschiebung liegen die Wendepunkte immer auf der Mittellinie. Das ist hier y gleich eins.
Das ist der Fall, wenn das Argument zwei x ein ganzzahliges Vielfaches von Pi ist. Für negative x-Werte wählen wir k gleich null und k gleich minus eins.
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