Untersuchung von Polynomfunktionen und Integralrechnung
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1.3 Gegeben ist das Schaubild einer Polynomfunktion $p$ vom Grad 3.
* Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise die Steigung des Schaubildes an der Stelle $x = 1$.
* Ermitteln Sie einen geeigneten Funktionsterm zu $p$.
(6 Punkte)
1.4 Berechnen Sie eine Lösung für $a \neq 0$, so dass $\int_{0}^{a} (2x - 1)dx = 0$ ist. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein kartesisches Koordinatensystem mit einer Kurve, die eine Polynomfunktion 3. Grades darstellt. Die x-Achse ist von -1 bis 4 beschriftet, die y-Achse zeigt Werte von -3 bis 0. Die Kurve hat Nullstellen bei ca. $x = 0$ und $x = 4$, ein lokales Minimum bei etwa $x = 1.2$ (y-Wert ca. -3.5) und ein lokales Maximum bei ca. $x = 3.3$ (y-Wert ca. -0.5). Das Gitter ermöglicht das Ablesen von Punkten.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit einer Polynomfunktion dritten Grades. Zuerst bestimmen wir die Steigung an der Stelle x gleich eins.
Teil 1.3: Polynomfunktion p vom Grad 3
Um die Steigung bei x gleich eins näherungsweise zu bestimmen, zeichnen wir gedanklich eine Tangente in den Punkt eins minus vier ein.
1. Steigung bei $x=1$
Betrachten wir das Steigungsdreieck. Wenn wir einen Schritt nach rechts gehen, gehen wir etwa zwei Einheiten nach unten. Die Steigung p Strich von eins ist also ungefähr minus zwei.
Nun ermitteln wir den Funktionsterm. Dazu nutzen wir die Nullstellen aus dem Graphen.
2. Funktionsterm p(x) ermitteln
Wir verwenden die faktorisierte Form für ein Polynom dritten Grades mit dem Streckfaktor a.
Setzen wir die Nullstellen ein, erhalten wir diese Gleichung.
Um a zu bestimmen, nutzen wir den y-Achsenabschnitt bei Null minus vier. Wir setzen x gleich Null und lösen nach a auf.
Der resultierende Funktionsterm lautet somit p von x gleich minus null komma fünf mal x plus eins mal x minus zwei mal x minus vier.
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