Untersuchung und Zeichnung einer ganzrationalen Funktion
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 27, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild heißt $K_f$.
2.1 Zeigen Sie, dass $f$ bei $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ Nullstellen hat.
Untersuchen Sie $K_f$ auf Extrem- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1,25 \le x \le 4$. (12 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Heute untersuchen wir eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Wir sollen Nullstellen nachweisen, Extrem- und Wendepunkte berechnen und schließlich den Graphen zeichnen.
Funktionsuntersuchung
Zuerst zeigen wir, dass minus eins eine Nullstelle ist. Wir setzen minus eins in die Funktion ein.
1. Nachweis der Nullstellen
Wenn wir die Potenzen ausrechnen, erhalten wir minus eins minus acht minus achtzehn plus siebenundzwanzig. Das ergibt genau null.
Dasselbe machen wir für x gleich drei. Drei hoch vier ist einundachtzig, also haben wir minus einundachtzig plus acht mal siebenundzwanzig minus achtzehn mal neun plus siebenundzwanzig.
Das vereinfacht sich zu minus einundachtzig plus zweihundertsechzehn minus hundertzweiundsechzig plus siebenundzwanzig, was ebenfalls null ergibt.
Kommen wir nun zu den Extrempunkten. Dafür benötigen wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null.
2. Extrempunkte
Wir setzen die Ableitung null und klammern minus vier x aus.
In der Klammer erkennen wir die zweite binomische Formel als x minus drei zum Quadrat. Unsere Nullstellen der Ableitung sind also null und drei.
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