Untersuchung und Transformation einer Kosinusfunktion
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Aufgabe 3
Wahlteilaufgabe mit Taschenrechner. (30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = -\cos(2x) + 0,5$, $x \in [0; \pi]$. Ihr Schaubild heißt $K_h$.
3.1 Geben Sie den Wertebereich von $K_h$ an.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von $K_h$ mit der $x$-Achse.
Zeichnen Sie $K_h$. (9 Punkte)
3.2 Die Gerade mit der Gleichung $y = 0,5$ schließt mit $K_h$ eine Fläche ein.
Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche. (6 Punkte)
3.3 Geben Sie jeweils einen veränderten Funktionsterm an, wenn
(1) das Schaubild von $h$ an der $x$-Achse gespiegelt wird.
(2) das Schaubild von $h$ um 2 nach unten verschoben wird.
(3) die Periode der neuen Funktion nun den Wert $\frac{\pi}{2}$ hat. (3 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Heute lösen wir eine Analysis-Aufgabe mit der periodischen Funktion h von x gleich minus Kosinus von zwei x plus Null Komma fünf im Intervall von Null bis Pi.
Aufgabe 3: Analysis mit h(x)
Zuerst bestimmen wir den Wertebereich. Der Kosinus schwankt normalerweise zwischen minus Eins und Eins.
3.1 Wertebereich
Durch das Minuszeichen davor und die Verschiebung um Null Komma fünf nach oben erhalten wir den Bereich von minus Null Komma fünf bis Eins Komma fünf.
Jetzt berechnen wir die Schnittpunkte mit der x-Achse. Dazu setzen wir h von x gleich Null.
Nullstellen
Das bedeutet, Kosinus von zwei x muss Null Komma fünf sein.
Die Lösungen für zwei x sind Pi Drittel und fünf Pi Drittel. Für unser Intervall bis Pi ergeben sich daraus die x-Werte Pi Sechstel und fünf Pi Sechstel.
In Aufgabenteil drei Punkt zwei berechnen wir die Fläche zwischen dem Graphen und der Geraden y gleich Null Komma fünf.
3.2 Flächeninhalt
Zuerst finden wir die Schnittstellen von h und der Geraden. Wir setzen beide gleich.
Daraus folgt Kosinus von zwei x gleich Null. Im gegebenen Intervall sind die Lösungen Pi Viertel und drei Pi Viertel.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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