Untersuchung und Integration einer ganzrationalen Funktion
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$, $x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1 Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch-, Tief- und Wendepunkte von $K_f$. Zeichnen Sie $K_f$ für $0 \leq x \leq 3$. (10 Punkte)
2.2 Zeigen Sie, dass $f$ auch in der Form $f(x) = (x-1)^2 \cdot (2x-5)$ dargestellt werden kann. $K_f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt. (7 Punkte)
2.3 Überprüfen Sie, ob folgende Behauptungen zutreffen und begründen Sie Ihre Antwort.
(1) $K_f$ und die Gerade $y = 12x - 5$ berühren sich im Punkt $P(0|-5)$.
(2) Es gibt eine Tangente an $K_f$, welche die Steigung -2 hat. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir eine Funktion dritten Grades. Wir berechnen Extrempunkte, Wendepunkte, Flächeninhalte und prüfen geometrische Aussagen.
Kurvendiskussion der Funktion f
$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$
Zuerst bestimmen wir die notwendigen Ableitungen für Aufgabe zwei punkt eins.
Für die lokalen Extrema setzen wir die erste Ableitung gleich Null.
Wir teilen durch sechs und nutzen die Mitternachtsformel oder den Satz von Vieta, um die Nullstellen bei eins und zwei zu finden.
Jetzt prüfen wir die Art der Extrema mit der zweiten Ableitung. Bei eins ist der Wert minus sechs, also ein Hochpunkt. Bei zwei ist der Wert plus sechs, also ein Tiefpunkt.
Die Koordinaten lauten: Hochpunkt bei eins strich null und Tiefpunkt bei zwei strich minus eins.
Nun zum Wendepunkt. Hierfür muss die zweite Ableitung gleich Null sein.
Wendepunkt
Berechnen wir den y-Wert an der Stelle eins komma fünf. Er ergibt minus null komma fünf. Der Wendepunkt liegt also bei eins komma fünf strich minus null komma fünf.
In Teil zwei punkt zwei zeigen wir, dass die faktorisierte Form korrekt ist. Wir multiplizieren die Klammern einfach aus.
Teil 2.2: Umformung & Fläche
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