Untersuchung einer Exponentialfunktion
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Aufgabe 3
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -0,5e^{2x} + 2$, $x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.1 Zeichnen Sie $K_f$ für $-4 \leq x \leq 1$ in ein Koordinatensystem. (3 Punkte)
3.2 $K_f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Berechnen Sie deren Inhalt. (5 Punkte)
3.3 Zeigen Sie, dass sich $K_f$ und die Gerade $g$ mit $g(x) = -x + 1,5$ im Schnittpunkt mit der y-Achse berühren. (4 Punkte)
3.4 Beurteilen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:
(1) Jedes Schaubild einer Stammfunktion $F$ von $f$ besitzt einen Hochpunkt.
(2) Die Ableitung $f'$ von $f$ ist monoton fallend für alle $x \in \mathbb{R}$.
(3) Das Schaubild von $f''$ liegt oberhalb der x-Achse für alle $x \in \mathbb{R}$. (6 Punkte)
3.5 $K_f$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y = x$.
Ermitteln Sie die Schnittstelle auf 2 Nachkommastellen genau. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion f von x gleich minus null komma fünf e hoch zwei x plus zwei. Wir lösen die Teilaufgaben Schritt für Schritt.
Analysis: Exponentialfunktion
In Teilaufgabe drei punkt zwei berechnen wir den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph K index f mit den Koordinatenachsen einschließt. Dazu bestimmen wir zuerst die Nullstelle.
3.2 Flächeninhalt berechnen
Wir subtrahieren zwei und teilen durch minus null komma fünf. Das ergibt e hoch zwei x gleich vier.
Daraus folgt nach Division durch null komma fünf:
Wir wenden den natürlichen Logarithmus an. Zwei x ist gleich Logarithmus von vier, was zwei mal Logarithmus von zwei ist. Also ist x gleich Logarithmus von zwei.
Die Fläche liegt im ersten Quadranten zwischen null und Logarithmus von zwei. Wir berechnen das Integral.
Die Stammfunktion ist minus null komma zwei fünf e hoch zwei x plus zwei x.
Beim Einsetzen erhalten wir minus null komma zwei fünf mal vier plus zwei mal Logarithmus von zwei minus die untere Grenze.
Das vereinfacht sich zu zwei mal Logarithmus von zwei minus null komma sieben fünf, was ungefähr null komma sechs vier Flächeneinheiten entspricht.
In Teilaufgabe drei punkt drei zeigen wir, dass sich der Graph und die Gerade g im Schnittpunkt mit der y-Achse berühren. Zuerst bestimmen wir den Schnittpunkt mti der y-Achse.
3.3 Berührpunkt nachweisen
Auch bei der Geraden g ist der Funktionswert an der Stelle null gleich eins komma fünf. Die Punkte sind also identisch.
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