Kurvendiskussion und Transformation einer Exponentialfunktion

Willkommen zu dieser Analysis-Aufgabe. Wir haben die Funktion h von x gleich null komma fünf mal e hoch null komma fünf x minus x plus eins komma fünf gegeben. In Teil zwei berechnen wir die Koordinaten des Extrempunktes und bestimmen dann zwei Verschiebungen des Schaubilds.

Um den Extrempunkt zu finden, benötigen wir die erste Ableitung der Funktion. Wir leiten jeden Term einzeln ab.

Die Ableitung von e hoch null komma fünf x ist nach der Kettenregel null komma fünf mal e hoch null komma fümf x. Multipliziert mit dem Vorfaktor null komma fünf erhalten wir null komma zwei fünf mal e hoch null komma fünf x. Die Ableitung von minus x ist minus eins.

Für die notwendige Bedingung eines Extrempunktes setzen wir die erste Ableitung gleich null.

Zuerst addieren wir eins auf beiden Seiten der Gleichung.

Dann teilen wir durch null komma zwei fünf, was dasselbe ist wie eine Multiplikation mit vier. Wir erhalten vier gleich e hoch null komma fünf x.

Um nach x aufzulösen, wenden wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten an. Der Logarithmus von vier ist gleich null komma fünf x.

Multiplizieren wir mit zwei, erhalten wir x gleich zwei mal Logarithmus von vier. Da vier gleich zwei hoch zwei ist, können wir dies als vier mal Logarithmus von zwei schreiben, was ungefähr eins komma drei acht sechs entspricht.

Um den y-Wert des Extrempunktes zu berechnen, setzen wir diesen x-Wert in die ursprüngliche Funktion h ein.