Analyse der Funktion h(x)
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3.5 Die Funktion h ist gegeben durch $h(x) = \frac{1}{2}x + 3 - e^{0,5x}$, $x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_h$.
Geben Sie die Gleichung der Asymptote von $K_h$ an.
Untersuchen Sie $K_h$ auf Extrempunkte.
Zeichnen Sie $K_h$ für $-8 \le x \le 4$. (10 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe betrachten wir die Funktion h von x gleich ein halb mal x plus drei minus e hoch null komma fünf x. Wir sollen die Asymptote bestimmen, die Extrempunkte berechnen und die Funktion grafisch darstellen.
Kurvendiskussion von $K_h$
Zuerst suchen wir die Asymptote. Wir betrachten das Verhalten der Funktion, wenn x gegen minus unendlich geht.
1. Asymptote
In diesem Fall nähert sich der Exponentialterm e hoch null komma fünf x dem Wert Null an.
Da dieser Teil verschwindet, bleibt die lineare Gleichung y gleich ein halb x plus drei übrig. Das ist unsere schräge Asymptote für x gegen minus unendlich.
Kommen wir zum zweiten Teil: der Untersuchung auf Extrempunkte. Dazu benötigen wir die erste und zweite Ableitung.
2. Extrempunkte
Für einen Extrempunkt muss die erste Ableitung gleich null sein.
Wir formen die Gleichung um, indem wir null komma fünf e hoch null komma fünf x auf die andere Seite bringen.
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