Analysis der Funktion h(x)
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3.4 Die Funktion h ist gegeben durch $h(x) = \frac{1}{2}x + 3 - e^{0,5x}, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_h$.
3.5 Geben Sie die Gleichung der Asymptote von $K_h$ an.
Untersuchen Sie $K_h$ auf Extrempunkte.
Zeichnen Sie $K_h$ für $-8 \le x \le 4$. (10 Punkte)
3.6 Zeigen Sie, dass die Steigung von $K_h$ in allen Punkten kleiner als 0,5 ist.
(4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen! Wir analysieren heute die Funktion h von x. In dieser Aufgabe sollen wir die Asymptote bestimmen, Extrempunkte finden und die Steigung untersuchen.
Kurvendiskussion von $h(x)$
Das Schaubild nennen wir $K_h$.
Zuerst suchen wir im Aufgabenteil drei punkt fünf nach der Asymptote. Schauen wir uns das Verhalten der Funktion für x gegen minus unendlich an.
3.5 Asymptote
Wenn x gegen minus unendlich geht, nähert sich die Exponentialfunktion e hoch null komma fünf x dem Wert Null an.
Damit bleibt die Geradengleichung ein halb x plus drei übrig. Das ist unsere schräge Asymptote für x gegen minus unendlich.
Als nächstes untersuchen wir die Funktion auf Extrempunkte. Dazu benötigen wir die erste Ableitung der Funktion.
Untersuchung auf Extrempunkte
Die Ableitung von ein halb x ist ein halb, die Konstante drei fällt weg, und für den Term mit der e-Funktion nutzen wir die Kettenregel.
Für einen Extrempunkt muss die erste Ableitung Null sein. Wir setzen den Ausdruck also gleich Null.
Wir addieren null komma fünf mal e hoch null komma fünf x auf beiden Seiten und erhalten Null komma fünf gleich Null komma fünf mal e hoch null komma fünf x.
Teilen wir durch null komma fünf, so bleibt eins gleich e hoch null komma fünf x stehen.
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