Analysis einer Exponentialfunktion: Berührpunkte und Flächeninhalt
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Gegeben sind die Funktion $g$ durch $g(x) = 6e^{-\frac{1}{6}x} - 3$ mit $x \in \mathbb{R}$, ihr Schaubild $K_g$ und die Gerade $t$ mit der Gleichung $y = -x + 3$.
2.3 Zeigen Sie, dass sich die Gerade $t$ und $K_g$ im Schnittpunkt mit der y-Achse berühren. Begründen Sie, warum $K_g$ und die Gerade $t$ keine weiteren gemeinsamen Punkte haben. (5 Punkte)
2.4 Berechnen Sie die Nullstelle von $g$. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die $K_g$ mit den Koordinatenachsen einschließt. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse. Auf der y-Achse sind Werte von 0 bis 4 markiert, auf der x-Achse von 0 bis 5. Der Graph einer fallenden Kurve $K_g$ ist eingezeichnet. Die Kurve schneidet die y-Achse bei $y = 3$ und die x-Achse bei einem Wert zwischen $x = 4$ und $x = 5$. Eine Gerade $t$ ist ebenfalls sichtbar, die die y-Achse ebenfalls bei $(0,3)$ schneidet und eine negative Steigung aufweist.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Hallo Hvgzv, schauen wir uns diese Analysis-Aufgabe gemeinsam an. Wir haben eine Funktion g von x und eine Gerade t gegeben.
Aufgabe 2.3 & 2.4
Zuerst sollen wir zeigen, dass sich die Gerade und die Kurve im Schnittpunkt mit der y-Achse berühren. Ein Berührpunkt bedeutet, dass sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen an dieser Stelle gleich sind.
2.3 Berührpunkt auf der y-Achse
Bedingung für Berührung bei $x=0$:
Berechnen wir zuerst den Funktionswert von g an der Stelle null. E hoch null ist eins, also bleibt sechs minus drei gleich drei.
Für die Gerade t an der Stelle null erhalten wir ebenfalls drei. Damit ist der gemeinsame Schnittpunkt der Punkt null strich drei.
Nun zur Steigung. Die Ableitung der Geraden ist einfach minus eins. Für g von x müssen wir die Kettenregel anwenden.
Setzen wir null in die Ableitung ein, erhalten wir minus e hoch null, was minus eins ergibt. Da die Steigungen gleich sind, berühren sie sich tatsächlich.
Warum gibt es keine weiteren Schnittpunkte? Betrachten wir die zweite Ableitung. g zwei strich von x ist immer positiv, da die e-Funktion positiv ist.
Keine weiteren Schnittpunkte
Da die zweite Ableitung immer größer als null ist, ist die Funktion g streng linksgekrümmt. Eine streng konvexe Kurve kann eine Tangente nur an einem Punkt berühren und liegt ansonsten immer oberhalb der Tangente.
Da $g''(x) > 0$ für alle $x$, ist $K_g$ streng linksgekrümmt.
Eine streng linksgekrümmte Kurve liegt stets oberhalb ihrer Tangente.
Es gibt also nur den Berührpunkt $B(0|3)$.
Kommen wir zu Aufgabenteil 2.4. Zuerst berechnen wir die Nullstelle von g.
2.4 Nullstelle und Flächeninhalt
Ansatz für Nullstelle: $g(x) = 0$
Wir setzen die Funktionsgleichung gleich null und addieren drei.
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