Üçüncü Dereceden Polinom Fonksiyonun Özellikleri ve Türev

Merhaba arkadaşlar. Bu soruda bir polinom fonksiyonunun türevi ve ekstremum noktaları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Bize azalan aralık, çözüm kümesi sayıları ve başkatsayı hakkında bilgiler verilmiş.

İlk olarak, fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın bir ile iki kapalı aralığı olduğunu biliyoruz. Bu ne demek? Üçüncü dereceden bir fonksiyonun türevi ikinci derecedendir ve işaret değiştirdiği yerler ekstremum noktalarıdır.

Yani fonksiyon x=1'e kadar artıyor, 1 ile 2 arasında azalıyor, 2'den sonra tekrar artıyor. Bu durumda x=1'de bir yerel maksimum, x=2'de ise bir yerel minimum oluşur.

Soruda f(x)=6 ve f(x)=5 denklemlerinin ikişer kökü olduğu söylenmiş. Bu ancak y=6 ve y=5 doğrularının fonksiyonun tepe ve çukur noktalarından teğet geçmesiyle mümkündür.

Büyük olan değer maksimum, küçük olan minimumdur. Grafiğimizden de gördük ki maksimum 1'de, minimum 2'de. O halde f(1) altı, f(2) beştir.

Şimdi başkatsayı bilgisini kullanalım. Polinomun başkatsayısı, yerel maksimum değerinin 4 eksiğiymiş. Yerel maksimumumuz 6 idi.

Eğer f(x) 2x küp ile başlıyorsa, türevi f'(x) 6x kare ile başlar. Yani türev fonksiyonunun başkatsayısı 6'dır.