Üçgenlerde Fraktal Çevre Toplamı
Yayınlanma:
Bir kenarı 16 birim olan ABC eşkenar üçgeni, kenarlarının orta noktaları birleştirilerek eş alanlı dört eşkenar üçgene ayrılıyor ve ortadaki üçgen maviye boyanıyor. Daha sonra, boyanan üçgenin sol alt köşesindeki eşkenar üçgenin orta noktaları birleştirilerek yine eşit alanlı dört eşkenar üçgene ayrılarak ortadaki üçgen maviye boyanıyor. Bu işlem aynı şekilde devam ettirildiğinde onuncu adım sonunda maviye boyanmış tüm üçgenlerin çevrelerinin toplamı kaç birim olur? A) $\frac{3}{64}(2^{10}-1)$ B) $\frac{3}{32}(2^{11}-1)$ C) $\frac{3}{32}(2^{10}-1)$ D) $\frac{3}{32}(2^9-1)$ E) $\frac{3}{16}(2^{10}-1)$
Soruda görsel içerik var: Üst kısımda, büyük bir eşkenar üçgenin içinde giderek küçülen, iç içe geçmiş ve maviye boyanmış eşkenar üçgenlerin olduğu bir diyagram bulunmaktadır. Bu üçgenler, her adımda orta noktaları birleştirilerek elde edilen merkezdeki üçgenin boyanmasıyla oluşmuştur.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Sude, seninle birlikte bu güzel geometri ve fraktal sorusunu adım adım çözelim.
Soru İncelemesi
Soruda, bir kenar uzunluğu on altı birim olan bir ABC eşkenar üçgeniyle başlıyoruz.
Birinci adımda, kenarların orta noktalarını birleştirerek ortadaki üçgeni maviye boyuyoruz.
Orta noktalar birleştirildiği için oluşan ilk mavi üçgenin bir kenar uzunluğu, on altının yarısı, yani sekiz birim olur.
Bu ilk mavi üçgenin çevresi ise, üç kenarının toplamından, üç çarpı sekiz, yani yirmi dört birimdir.
Şimdi ikinci adıma geçelim. Boyanan üçgenin sol alt köşesindeki eşkenar üçgenin orta noktalarını birleştirip ortadaki üçgeni tekrar maviye boyuyoruz.
Bu yeni mavi üçgenin bir kenar uzunluğu, az önceki sol alt üçgenin kenarının yarısıdır. Yani sekiz bölü ikiden dört birim olur.
Böylece ikinci mavi üçgenin çevresi, üç çarpı dörtten on iki birim olarak bulunur.
Bu şekilde devam ettiğimizde, her yeni adımda eklenen mavi üçgenin çevresi bir öncekinin yarısı olacaktır.
Genel olarak, n inci adımdaki mavi üçgenin çevresini, birinci adımdaki çevre olan yirmi dört çarpı bir bölü iki üzeri n eksi bir olarak yazabiliriz.
Bizden onuncu adım sonundaki tüm mavi üçgenlerin çevrelerinin toplamı isteniyor. Bu toplamı büyük S harfiyle gösterelim.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
