Daire Dilimleri Alanlar Toplamı

MathematicsGeometric SeriesZorYKS

Yayınlanma:

Soru

4. Şekilde, her daire diliminin yarıçapı ve yay uzunluğu bir sonraki daire diliminin yarıçapının ve yay uzunluğunun ikişer katıdır. Bu daire dilimlerinden 6 tane çizildiğinde oluşan tüm daire dilimlerinin alanları toplamı $\frac{2 - 2^a}{b} \cdot d \cdot r$ birimkare olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır? (a, b gerçel sayıdır.) A) -12 B) -10 C) -8 D) -6 E) -4

Soruda görsel içerik var: The image shows a diagram of multiple circular sectors (daire dilimleri) decreasing in size. The largest sector on the left has a radius labeled 'r cm' and an arc length labeled 'd cm'. The next smaller sector has a radius of 'r/2' and arc length of 'd/2'. There are six such sectors drawn consecutively, each with its dimensions halved compared to the previous one.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Firdevs, bu güzel soruyu seninle birlikte adım adım çözelim. İlk olarak daire dilimlerinin yarıçap ve yay uzunluklarını belirleyelim.

Daire Dilimlerinin Özellikleri

2
Adım 2

Soruda her daire diliminin yarıçapı ve yay uzunluğunun, bir sonraki dilimin iki katı olduğu söylenmiş. Bu ilişkiden yola çıkarak dilimleri listeleyelim.

Dilim SırasıYarıçap (cm)Yay Uzunluğu (cm)
1. Dilim$r$$d$
2. Dilim$\frac{r}{2}$$\frac{d}{2}$
3. Dilim$\frac{r}{4}$$\frac{d}{4}$
.........
$n$. Dilim$\frac{r}{2^{n-1}}$$\frac{d}{2^{n-1}}$
3
Adım 3

Şimdi, bir daire diliminin alan formülünü hatırlayalım. Alan, yarıçap ile yay uzunluğunun çarpımının yarısıdır.

Daire Diliminin Alanı

$$\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{Yarıçap} \cdot \text{Yay Uzunluğu}$$
4
Adım 4

Bu formülü birinci daire dilimimiz için uygularsak, alanını şu şekilde buluruz.

$$A_1 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot d$$
5
Adım 5

İkinci dilimin alanını ise, yarıçapı r bölü iki ve yay uzunluğu d bölü iki olduğu için bu şekilde yazabiliriz.

$$A_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{2} \cdot \frac{d}{2} = \frac{r \cdot d}{2 \cdot 4}$$
6
Adım 6

Aynı düzende devam edersek, n'inci dilimin alanı, birinci dilimin alanının bir bölü dört üssü n eksi bir ile çarpımı olacaktır.

$$A_n = \frac{r \cdot d}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$
7
Adım 7

Bizden toplamda altı tane daire diliminin alanları toplamı isteniyor. Bu toplamı ifade edelim.

Toplam Alan Hesabı

$$S_6 = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6$$
8
Adım 8

Her terimde ortak olan re çarpı de bölü iki ifadesini parantez dışına alalım.

$$S_6 = \frac{d \cdot r}{2} \left[ 1 + \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \left(\frac{1}{4}\right)^4 + \left(\frac{1}{4}\right)^5 \right]$$
9
Adım 9

Parantez içindeki geometrik toplamı, bir eksi r üssü n bölü bir eksi r formülünü kullanarak hesaplayabiliriz.

$$1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1 - q}$$
10
Adım 10

Burada q yerine bir bölü dört ve terim sayısı n yerine altı yazarak toplamı düzenleyelim.

11
Adım 11

Elde ettiğimiz bu ifadeyi adım adım sadeleştirelim. Önce paydadaki bir eksi bir bölü dört işlemini yapalım.

İfadenin Sadeleştirilmesi

$$S_6 = \frac{d \cdot r}{2} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^6}{\frac{3}{4}}$$

Çözümün devamı Solvi’de

10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Geometric Series
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Sonsuz Geometrik Serilerle a ve b Sayılarının Hesaplanması Geometric Series · Orta Sosyal Medya Çekiliş Problemi Geometric Series · Orta Boyalı Dikdörtgenlerin Alanları Toplamı Geometric Series · Zor Soal Deret Geometri Penjualan Penghapus Geometric Series · Orta Ayla ve Bora'nın Ekip Sayıları Problemi Geometric Series · Orta Üçgenlerde Fraktal Çevre Toplamı Geometric Series · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir