Türevi verilen fonksiyonun yerel minimum noktası

Selam Emre, haydi bu türev ve süreklilik sorusunu beraber adım adım çözelim.

Soruda gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonunun türevi olan f üssü fonksiyonunun grafiği verilmiş ancak x ekseni silinmiş.

Grafiğe baktığımızda türevin iki farklı sabit değerden oluştuğunu görüyoruz: Bir bölgede eksi bir, diğer bölgede ise artı iki.

Türevin işaret değiştirdiği k noktası, sürekli bir fonksiyon için yerel ekstremum noktasıdır. Türev eksi birden ikiye geçtiği için, f fonksiyonu k noktasına kadar azalır ve k'dan sonra artar.

Yani k noktası bizim yerel minimum noktamızdır. Şimdi fonksiyonun denklemlerini yazalım.

Fonksiyon sürekli olduğu için k noktasında sol ve sağ limitler eşit olmalıdır. Buradan sabitler arasındaki ilişkiyi buluruz.

Şimdi bize verilen eşitsizliği inceleyelim: f x küçüktür f dört. Bu eşitsizliği sağlayan sekiz farklı doğal sayı varmış.

k değerinin dörtün solunda mı sağında mı olduğunu düşünelim. Eğer k dörtten küçükse, f dört değeri iki çarpı dört eksi iki k artı A olur.

Bu durumda f x'in bu değerden küçük olduğu aralığı bulmalıyız. Grafik simetrik değildir; k'nın solundaki eğim eksi bir, sağındaki eğim ikidir.

f dört değerine eşit olan diğer nokta x bir olsun. f x bir eşittir f dört denklemini çözelim.

O halde eşitsizliğin çözüm kümesi üç k eksi sekiz ile dört açık aralığıdır.