Türevi Verilen Fonksiyonun Kök Aralığı
Yayınlanma:
23. Dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği aşağıda gösterilmiştir.
[Grafik açıklaması: $x$ ekseninde 0, 1, 2, 3, 4 noktaları işaretlenmiş; grafik $x=1$ ve $x=2$ noktalarında $x$ eksenini kesiyor.]
$[0,4]$ aralığında sadece bir kökü olan $f$ fonksiyonu $f(0) = f'(0)$ ve $f(4) = f'(4)$ eşitliklerini sağlamaktadır.
Buna göre $f$ fonksiyonunun $[0,4]$ aralığındaki kökü
I. $(1,2)$
II. $(2,3)$
III. $(3,4)$
aralıklarından hangilerinde olabilir?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III
Soruda görsel içerik var: Bir kartezyen koordinat sistemi üzerinde $f'(x)$ fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Grafik $x$ eksenini $x=1$ ve $x=2$ noktalarında kesmektedir. $x < 1$ için negatif, $1 < x < 2$ için pozitif, $x > 2$ için artan bir eğri olarak devam etmektedir. $x$ ekseninde 0, 1, 2, 3, 4 değerleri işaretlenmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ersan, bu videoda ÖSYM'nin ünlü bir AYT sorusunu birlikte çözeceğiz. f üssü fonksiyonunun grafiğini inceleyerek f fonksiyonunun kökünün hangi aralıkta olabileceğini bulacağız.
f Fonksiyonunun Kökünün İncelenmesi
Öncelikle grafikten ve soruda verilen bilgilerden elde ettiğimiz ipuçlarını listeleyelim.
Verilen Bilgiler
Grafiğe baktığımızda, sıfır noktasında türev fonksiyonunun negatif olduğunu, dört noktasında ise pozitif olduğunu görüyoruz.
Şimdi türev fonksiyonunun işaretine bakarak f fonksiyonunun artanlık ve azalanlık durumlarını bir tablo halinde inceleyelim.
f Fonksiyonunun Monotonluğu
| Aralık | f'(x) İşareti | f(x) Durumu |
|---|---|---|
| [0, 1] | Negatif (-) | Azalan |
| [1, 2] | Pozitif (+) | Artan |
| [2, 3] | Negatif (-) | Azalan |
| [3, 4] | Pozitif (+) | Artan |
İlk aralık olan sıfır bir aralığını ele alalım. f sıfır değerinin negatif olduğunu biliyoruz.
[0, 1] Aralığı
f fonksiyonu sıfır bir aralığında azalan olduğu için, bu aralıktaki tüm değerler f sıfırdan daha küçük veya eşittir.
Dolayısıyla bu aralıkta f fonksiyonu her zaman negatif kalır ve hiçbir kökü olamaz. Buradan f bir değerinin de negatif olduğunu garantilemiş oluruz.
Şimdi ikinci öncülü, yani kökün iki üç aralığında olma olasılığını inceleyelim.
II. Öncül: (2, 3) Aralığı
Eğer kök bu aralıkta ise, bu aralıkta f fonksiyonunun sıfır olduğu bir değer vardır.
İki üç aralığında f fonksiyonunun azalan olduğunu biliyoruz. Yani fonksiyon azalarak sıfıra ulaşıyorsa, başlangıçta pozitif olmalıdır.
Fakat biz f bir değerinin negatif olduğunu bulmuştuk. f bir negatif ve f iki pozitif ise, ara değer teoremi gereği bir iki aralığında da bir kök bulunmalıdır.
Bu durumda fonksiyonun en az iki farklı kökü olur ki bu, sorudaki tek kök bilgisiyle çelişir. Dolayısıyla kök iki üç aralığında olamaz.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
