İntegral ve Fonksiyon Grafiği Analizi

Merhaba Firdevs, seninle birlikte bu harika integral alan sorusunu adım adım çözelim. Soruda gerçel sayılar kümesinde sürekli ve artan bir f fonksiyonu verilmiş. Bu fonksiyonun sıfır noktasındaki değeri a, dört noktasındaki değeri ise b olarak belirtilmiş.

Soruyu daha iyi görselleştirmek için bu durumu koordinat sisteminde çizelim. f fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğu için soldan sağa doğru yükselen bir eğri çiziyoruz.

Fonksiyon grafiği ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanına A denmiş. f fonksiyonu pozitif değerli olduğundan, bu alan aslında sıfırdan dörde f x integraline eşittir.

Şimdi bu alanı Riemann toplamları yöntemiyle inceleyerek öncülleri tek tek değerlendirelim.

Birinci ve ikinci öncülleri analiz etmek için sıfır dört aralığını iki eşit alt aralığa bölelim. Yani sıfır iki ve iki dört aralıklarını oluşturalım. Her bir aralığın genişliği delta x, yani iki olacaktır.

Bu iki alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en küçük değerleri kullanarak Alt Riemann Toplamını hesaplayalım. Fonksiyonumuz artan olduğu için, her aralığın sol ucunda en küçük değerini alır. Yani sıfırda f sıfır, ikide f iki olur.

Genişlik değerini yerine yazarsak, Alt Riemann Toplamı iki çarpı f sıfır artı iki çarpı f iki olur.

f fonksiyonu sürekli ve artan olduğu için, gerçek alan A, Alt Riemann Toplamından her zaman daha büyüktür. Çünkü grafiğin altında kalan boşluklar olacaktır.

L değerini yerine koyduğumuzda, A büyüktür iki f sıfır artı iki f iki eşitsizliğini elde ederiz. Bu da bize ikinci öncülün kesinlikle doğru olduğunu gösterir.

Şimdi de Üst Riemann Toplamını bulalım. Fonksiyon artan olduğu için her aralıkta en büyük değerini sağ uç noktasında alır. Yani sıfır iki aralığında f iki, iki dört aralığında f dört olur.