İntegral ve Değişken Değiştirme Sorusu

Merhaba irem, bu güzel integral sorusunu seninle birlikte adım adım çözelim.

Soruda bize iki adet integral eşitliği verilmiş ve bizden sıfırdan ikiye f x d x integralinin değeri isteniyor.

İlk olarak, verilen ilk integrali inceleyelim ve burada değişken değiştirme yöntemi uygulayalım.

g x fonksiyonu iki x artı iki olarak tanımlanmıştı. Bu ifadeyi yerine yazalım.

Şimdi, integralin içindeki iki x artı iki ifadesine u diyelim.

Her iki tarafın diferansiyelini aldığımızda, d u eşittir iki d x elde ederiz. Buradan d x değerini yalnız bırakırsak d u bölü iki olur.

Değişken değiştirdiğimiz için integralin sınırlarını da güncellemeliyiz. Alt sınır olan eksi bir değeri için u değerini hesaplayalım.

Aynı şekilde, üst sınır olan bir değeri için de u değerini bulalım.

Şimdi elde ettiğimiz bu yeni sınırları ve u cinsinden ifadeleri ilk integralimizde yerine koyalım.

Eşitliğin her iki tarafını iki ile çarptığımızda, sıfırdan dörde f u d u integralinin otuz altı olduğunu görürüz.

Buradaki u değişkeni yerine x yazarsak, sıfırdan dörde f x d x integralinin değerini otuz altı olarak bulmuş oluruz. Bu çok önemli bir bilgi, bunu aklımızda tutalım.

Harika! İlk adımı tamamladık. Şimdi temiz bir tahtada ikinci integral eşitliğini inceleyelim.

g x fonksiyonu iki x artı iki olduğuna göre, g bileşke f x ifadesi iki çarpı f x artı ikiye eşit olur. Bunu integralin içine yazalım.