Toplamı Tam Sayı Olan Köklü İfadeler

Merhaba nisa, gel bu soruyu birlikte çözelim. Sorumuzda n sayısı yüz veya yüzden küçük bir pozitif tam sayı olarak verilmiş ve K eşittir karekök içinde n eksi sekiz artı karekök içinde n artı sekiz ifadesinin bir tam sayı olduğu belirtilmiş.

Öncelikle, kareköklü ifadelerin gerçek sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için kök içlerinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Yani n eksi sekiz büyük eşittir sıfır olmalıdır. Buradan n değerinin en az sekiz olması gerektiğini görebiliriz.

Şimdi K ifadesinin her iki tarafının da karesini alarak köklü terimleri sadeleştirmeye çalışalım.

Tam kare açılımını yaptığımızda, birinci terimin karesi yani n eksi sekiz, ikinci terimin karesi yani n artı sekiz ve bu iki terimin çarpımının iki katını elde ederiz.

Burada eksi sekiz ve artı sekiz sadeleşir. İfadeyi düzenlediğimizde K kare eşittir iki n artı iki çarpı karekök içinde n kare eksi altmış dört elde ederiz.

K sayısının bir tam sayı olması için K kare de bir tam sayı olmalıdır. n bir tam sayı olduğuna göre, karekök içindeki ifadenin yani n kare eksi altmış dördün bir tam kare olması gerekir. Buna a kare diyelim.

İki kare farkı özdeşliğini kullanabilmek için a kareyi sol tarafa, altmış dördü ise sağ tarafa alalım. Buradan n eksi a çarpı n artı a eşittir altmış dört denklemini elde ederiz.

n ve a tam sayılar olduğu için bu iki çarpan altmış dördün bölenleri olmalıdır. Bu çarpanların toplamı iki n, yani çift bir sayıdır. Dolayısıyla her iki çarpanın da çift sayı olması gerekir.

Altmış dördün ikisi de çift olan ve n eksi a'nın n artı a'dan küçük ya da eşit olduğu çarpan çiftlerini yazalım.

Şimdi bu üç durumu tek tek inceleyelim ve n değerlerini bulalım. İlk durumumuz n eksi a'nın iki, n artı a'nın otuz iki olması durumudur.