Ters Fonksiyonun Türevi ve Belirli İntegral

Question

$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu

$$f(x) = x + \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} e^{2u} \cdot \sin^{10}u \cdot du$$

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre $(f^{-1})'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ değeri kaçtır?

A) $\frac{\pi}{e}$

B) $\frac{\pi}{1 + e}$

C) $\frac{\pi}{1 + e^{\pi}}$

D) $\frac{1}{1 + e^{\pi}}$

E) $\frac{2}{1 + e^{\pi}}$

Solvi · Accepted Answer

Merhaba! Bugün ters fonksiyonun türevi ve integralin türevi konularını birleştiren tatlı bir kalkülüs sorusu çözeceğiz. Öncelikle ters fonksiyonun türevini bulurken kullandığımız temel kuralımızı tahtaya yazalım. Bu formülde, y sıfır eşittir f(x sıfır) olarak tanımlıdır. Yani aradığımız y değerini veren x sıfır değerini ilk aşamada tespit etmek zorundayız. Soruda bizden f'in tersinin türevinde pi bölü iki değeri isteniyor. Formüle göre, y sıfır dediğimiz değer pi bölü ikidir. Dolayısıyla, f fonksiyonunda hangi x sıfır değerinin bize pi bölü ikiyi vereceğini bulmamız gerekiyor. Bize verilen probleme geri dönelim. Fonksiyonunun içinde belirli bir integral görüyoruz. Alt sınırı ise pi bölü iki. Bu da harika bir ipucu! Eğer fonksiyonumuzda x yerine pi bölü iki yazarsak neler olacağına bakalım. İntegralin alt ve üst sınırları birbirine eşit olduğunda, integral hesabında alan oluşmayacağı için değer sıfır olur. Yani f'te pi bölü iki, pi bölü ikiye eşittir. Bu durumda, formüldeki aradığımız x sıfır değerini de pi bölü iki olarak bulmuş olduk.

Ters Fonksiyonun Türevi ve Belirli İntegral

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm