Temperaturmodellierung mit Kosinusfunktion

Question

Erfahrene Meteorologen sagen voraus, dass der Lufttemperaturverlauf (in $^\circ C$) an einem bestimmten Ort in den nächsten 24 Stunden näherungsweise durch die Funktion $T$ mit $T(t) = -8 \cos(\frac{\pi}{12} \cdot t) + 6$; $t \ge 0$, $t$ in Stunden, beschrieben werden kann. Dabei ist $t = 0$ um 6:00 Uhr.

4.5 Berechnen Sie, welche Höchst- bzw. Tiefsttemperatur nach diesem Modell in den nächsten 24 Stunden zu erwarten ist.
Geben Sie alle Uhrzeiten an, zu welchen die Höchst- bzw. Tiefsttemperatur erreicht wird. (4 Punkte)

Solvi · Accepted Answer

In dieser Aufgabe modellieren wir den Temperaturverlauf über einen Zeitraum von 24 Stunden mit Hilfe einer trigonometrischen Funktion. Wir sollen die Höchst- und Tiefsttemperaturen sowie die entsprechenden Uhrzeiten bestimmen. Zuerst schauen wir uns die Parameter der Funktion an. Die Zahl vor dem Kosinus bestimmt die Amplitude, und die Konstante am Ende verschiebt die Kurve vertikal. Da der Kosinus Werte zwischen minus eins und eins annimmt, liegt die Temperatur zwischen sechs minus acht und sechs plus acht Grad. Damit haben wir bereits die Extremwerte: Die Tiefsttemperatur beträgt minus zwei Grad Celsius und die Höchsttemperatur vierzehn Grad Celsius. Als Nächstes berechnen wir die Uhrzeiten. Wir wissen aus der Aufgabe, dass klein t gleich null der Uhrzeit sechs Uhr morgens entspricht. Die Tiefsttemperatur von minus zwei Grad wird erreicht, wenn der Kosinus-Term den Wert eins hat, da minus acht mal eins plus sechs genau minus zwei ergibt. Der Kosinus ist eins bei null, zwei pi, und so weiter. Für t zwischen null und vierundzwanzig erhalten wir also zwei Zeitpunkte.

Temperaturmodellierung mit Kosinusfunktion

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