Tam Sayı Değerleri ve Eşitsizlikler

Merhaba sevgili arkadaşlar. Bugün iki bin yirmi dört AYT matematik sınavında çıkan güzel bir eşitsizlik sorusunu birlikte çözeceğiz.

Sorumuzda a bir tam sayı olarak verilmiş ve mutlak değerli bir ifadenin yer aldığı bir eşitsizlik zinciri sunulmuş. Bu eşitsizliği sağlayan yalnızca dört tane x tam sayısı olduğu söyleniyor.

İlk olarak mutlak değerin içindeki ifadeyi, yani x kare eksi iki x artı iki ifadesini inceleyelim. Bu ifadenin her zaman pozitif olup olmadığını anlamak için diskriminantına bakalım.

İkinci dereceden bu ifadenin diskriminantı, yani deltası, b kare eksi dört a c formülünden hesaplanır.

Katsayıları yerine koyduğumuzda, delta eşittir eksi ikinin karesi eksi dört çarpı bir çarpı iki elde ederiz.

Buradan delta değerini dört eksi sekizden, eksi dört olarak buluruz.

Diskriminant sıfırdan küçük olduğu için bu ifadenin reel kökü yoktur. Baş katsayısı da pozitif olduğuna göre, bu ifade her x reel sayısı için daima pozitiftir.

İfade her zaman pozitif olduğu için mutlak değer dışına aynen çıkacaktır.

Şimdi elde ettiğimiz bu sonucu ana eşitsizliğimizde yerine yazalım.

Burada x kare ve eksi x kare terimleri birbirini sadeleştirir.

Geriye kalan terimleri topladığımızda, ortadaki ifade eksi üç x artı iki haline gelir.

Eşitsizliğimizi oldukça basit bir forma getirdik. Şimdi bu eşitsizliği sağlayan x tam sayılarını bulalım.