Soyut Matematik II Ara Sınav Soruları

MathematicsAbstract Mathematics (Set Theory and Relations)ZorSTEM

Yayınlanma:

Soru

FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ

MAT. 1106 SOYUT MATEMATİK-II DERSİ

ARA SINAV SORULARI

SORU 1) Kafes (örgü=lattice) kavramını açıklayıp bir örnek veriniz. $(A, \le)$ bir kafes olmak üzere her $x, y \in A$ için $(x \wedge y) \vee x = x$ eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (20 Puan)

SORU 2) Doğal sayılar kümesi üzerinde her $m, n \in \mathbb{N}$ için,

$$m \le n \Leftrightarrow (m \in n \text{ veya } m = n)$$

"$\le$" bağıntısı tanımlanıyor. $(\mathbb{N}, \le)$ ikilisinin bir kısmen (kısmi) sıralı küme (KSK) olduğunu gösteriniz. Bu tanıma göre, $3 \le 5$ olması durumunu açıklayınız. (20 Puan)

SORU 3) i) Her $n, m \in \mathbb{N}$ olmak üzere $n + m = 0 \Rightarrow (n=0 \text{ ve } m=0)$ olduğunu gösteriniz. (10 Puan)

ii) Her $n, m \in \mathbb{N}$ olmak üzere $n \cdot m = 1 \Rightarrow (n=1 \text{ ve } m=1)$ olduğunu gösteriniz. (10 Puan)

SORU 4) Tam sayılar kümesine niçin ihtiyaç duyulmuştur, bu sayı sistemini oluşturarak açıklayınız. Bu oluşturduğunuz sayı sisteminde gerekli işlemleri kullanarak $x + 2 = 5$ denkleminin çözümünü bulunuz. (20 Puan)

SORU 5) İki kesimin toplamının yine bir kesim olacağını ispat ediniz. (20 Puan)

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba, bugün Soyut Matematik dersinin ara sınav sorularından birinci soruyu birlikte çözeceğiz. Kafes kavramını inceleyip, soğurma özelliğini ispatlayacağız.

Soru 1: Kafes (Lattice) Kavramı ve İspat

2
Adım 2

İlk olarak kafes tanımını yapalım. Bir kafes, herhangi iki elemanının en küçük üst sınırı ve en büyük alt sınırının bulunduğu bir kısmi sıralı kümedir.

1. Kafes Tanımı

$$A \text{ bir KSK olsun. Her } x, y \in A \text{ için } \sup\{x, y\} \text{ ve } \inf\{x, y\} \text{ elemanları mevcutsa } (A, \le) \text{ bir kafestir.}$$
3
Adım 3

Bu en küçük üst sınıra birleşim, en büyük alt sınıra ise kesişim diyoruz. Bunları matematiksel sembollerle şu şekilde ifade ederiz.

$$\begin{aligned} x \vee y &= \sup\{x, y\} \\ x \wedge y &= \inf\{x, y\} \end{aligned}$$
4
Adım 4

Örnek olarak tam sayılar kümesini doğal sıralama bağıntısıyla ele alalım. Herhangi iki tam sayı için küçük olan infimumu, büyük olan ise supremumu verir.

Örnek: $(\mathbb{Z}, \le)$ bir kafestir.

$$x \wedge y = \min(x, y), \quad x \vee y = \max(x, y)$$
5
Adım 5

Şimdi sorudaki ispat kısmına geçelim. Bize verilen ifade, kafeslerin temel özelliklerinden biri olan soğurma yasalarından biridir.

2. İspat: Soğurma (Absorption) Yasası

$$(x \wedge y) \vee x = x$$
6
Adım 6

Eşitliği göstermek için, sol taraftaki ifadenin hem x ten küçük eşit olduğunu hem de x in bu ifadeden küçük eşit olduğunu göstermemiz yeterlidir. Ancak supremum tanımını kullanmak daha kolay olacaktır.

İspat yöntemimiz supremum ve infimum tanımlarına dayanır.

7
Adım 7

Önce kesişim tanımına bakalım. Kesişim, kümenin en büyük alt sınırıdır. Bu yüzden ix ve ye nin kesişimi, x ten küçük veya eşittir.

$$x \wedge y = \inf\{x, y\} \implies (x \wedge y) \le x$$
8
Adım 8

Ayrıca biliyoruz ki, herhangi bir eleman kendisinden küçük veya eşittir, yani x küçük eşittir x tir.

$$x \le x$$

Çözümün devamı Solvi’de

7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Abstract Mathematics (Set Theory and Relations)
Zorluk
Zor
Sınav
STEM
Soru Tipi
İspat

Benzer Sorular

Çadır İp Uzunluğu Problemi Triangle Inequalities · Orta Paralelkenar Alan Hesaplama Geometry · Orta Belirli İntegral ile f(x) Fonksiyonu Yorumlama Integral · Zor Paralelkenar Alanı Hesaplama Geometry · Orta Dikdörtgen Çevreleri Farkı Geometry · Zor İki Kardeşin Yaş Problemi Age Problems · Kolay

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir