Simetrik Fonksiyon ve İntegral Hesabı

Merhaba Zeynep, bugün seninle integral ve fonksiyonların simetri özelliklerini içeren bu güzel AYT matematik sorusunu çözeceğiz.

Soruda f fonksiyonunun orijine göre simetrik olduğu söylenmiş. Bu, f fonksiyonunun tek bir fonksiyon olduğu anlamına gelir. Yani f eksi x eşittir eksi f x eşitliği sağlanır.

Şimdi bize verilen ilk integrali inceleyelim. Eksi birden bire kadar x kare çarpı f, x küp artı bir de x, altıya eşitmiş.

Bu integralde bir değişken dönüşümü yapalım. u eşittir x küp artı bir olsun.

Her iki tarafın türevini alırsak, d u eşittir üç x kare d x olur.

İntegraldeki x kare d x ifadesini yalnız bırakmak için üçü karşıya bölü olarak atalım. d u bölü üç eşittir x kare d x olur.

Şimdi sınırları değiştirelim. Alt sınır olan eksi biri x yerine koyarsak, eksi birin küpü artı birden u-yu sıfır buluruz.

Üst sınır olan biri x yerine koyarsak, birin küpü artı birden u-yu iki buluruz.

Yeni integralimiz sıfırdan ikiye kadar f u çarpı d u bölü üç olur. Bu da altıya eşittir.

Buradaki üçü karşıya çarpı olarak atarsak, sıfırdan ikiye f u d u integralinin on sekiz olduğunu buluruz. Değişkenin adını x yaparsak, sıfırdan ikiye f x d x de on sekizdir.

Şimdi bizden istenen integrale bakalım. Eksi sekizden sıfıra, iki artı f, küpkök x bölü küpkök x kare d x ifadesi soruluyor.

İntegrali iki parçaya ayıralım. İlk kısım eksi sekizden sıfıra iki d x, ikinci kısım ise f fonksiyonunun olduğu bölüm olsun.