Birim Kareli Düzlemde İntegral Hesabı

Merhaba Melisa. Bu videoda harika bir integral sorusunu birlikte çözeceğiz. Öncelikle grafiği ve bizden istenen ifadeyi inceleyelim.

Grafikte iki çeyrek çember yayı ve bir doğru parçası görüyoruz. A ve B noktaları bu çember yaylarının merkezleridir. Şimdi koordinat sistemimizi ve grafiği daha büyük ve detaylı bir çizimle inceleyelim.

İşte fonksiyonumuzun grafiği. A merkezinin koordinatları bire dört olarak verilmiş. Bu durumda çeyrek çemberin yarıçapı üç birimdir. Çünkü en üst nokta bire yedi koordinatındadır.

İlk olarak, bizden istenen ifadedeki f'in tersinin dörtten yediye integralini inceleyelim. Bu integral, f fonksiyonunun grafiği ile y ekseni arasında kalan bölgenin alanını temsil eder.

Bu bölge, y eşittir dört ve y eşittir yedi doğruları arasında kalmaktadır. Şimdi bu bölgeyi grafik üzerinde mavi renkle gölgeleyelim.

Bu alanı iki parçaya bölerek kolayca hesaplayabiliriz. İlki, genişliği bir birim ve yüksekliği üç birim olan bir dikdörtgendir.

İkinci parça ise yarıçapı üç birim olan çeyrek bir çemberdir. Bunun alanı da pi çarpı r kare bölü dört formülünden dokuz pi bölü dört olur.

Böylece ilk integralimizin değeri, bu iki alanın toplamı yani üç artı dokuz pi bölü dört olarak bulunur.

Harika! Şimdi de ikinci integralimiz olan f x'in beşten on bire integralini hesaplayalım. Bu integrali, beşten sekize ve sekizden on bire olmak üzere iki parçaya ayıracağız.

Öncelikle beşten sekize olan kısma bakalım. Grafikteki doğru parçası dörde dört noktasından başlayıp sekize sıfır noktasında son buluyor. Yani eğimi eksi birdir.