Permütasyon Problemi

Selam gençler! Bugün permütasyon konusuna dair güzel bir denklem sorusu çözeceğiz. Verilen eşitlikte n değerini bulmamız isteniyor.

Eşitliğimizi inceleyelim. İki n'in üçlü permütasyonu, n'in n'li permütasyonu çarpı altıya eşitmiş.

Öncelikle temel permütasyon formülünü hatırlayalım. n elemanlı bir kümenin r'li permütasyonu, n faktöriyel bölü n eksi r faktöriyeldir.

Bu formülü kullanarak sol tarafı açalım. İki n'in üçlü permütasyonu, iki n'den başlayarak geriye doğru üç terim çarpmak demektir.

Sağ taraftaki n'in n'li permütasyonu ise doğrudan n faktöriyel eşittir. Denklemimiz şu hali aldı.

Sol taraftaki iki n eksi iki ifadesini, iki parantezine alarak daha sade bir hale getirelim.

Katsayıları başa alırsak, iki çarpı iki yani dört çarpı n, çarpı iki n eksi bir, çarpı n eksi bir elde ederiz.

Şimdi sağ taraftaki n faktöriyeli açalım. n faktöriyel, n çarpı n eksi bir, çarpı n eksi iki faktöriyel olarak yazılabilir.