Parameterbestimmung für Tangentialberührung im Ursprung

In dieser Aufgabe sollen wir bestimmen, welcher Wert für den Parameter b dazu führt, dass sich zwei Funktionen im Ursprung berühren.

Zuerst notieren wir die beiden Funktionsgleichungen. Die erste ist f von x gleich ein halb mal x quadrat minus x. Die zweite ist g von x gleich minus sinus von b mal x plus x.

Damit sich zwei Kurven in einem Punkt berühren, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein. Erstens müssen sie denselben Funktionswert an diesem Punkt haben.

Prüfen wir also, ob beide Funktionen durch den Ursprung gehen. Bei f von null erhalten wir null minus null, also null. Bei g von null ist es minus sinus von null plus null, was ebenfalls null ergibt.

Die entscheidende zweite Bedingung für eine Berührung ist, dass die Steigungen im Punkt gleich sein müssen. Das heißt, die erste Ableitung an der Stelle null muss bei beiden Funktionen übereinstimmen.

Berechnen wir nun die Ableitungen. Für f von x ergibt die Potenzregel ganz einfach x minus eins.

Bei g von x müssen wir die Kettenregel auf den Sinusterm anwenden. Wir erhalten minus b mal kosinus von b mal x plus eins.