Parameterbestimmung einer trigonometrischen Funktion
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1.7 Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion ist durch $y = 5 \cos(bx) - d$ mit $x, b, d \in \mathbb{R}$ gegeben.
Bestimmen Sie $b$ und $d$ so, dass die Periodenlänge $p = \frac{1}{2}$ beträgt und das Schaubild Schnittpunkte mit der x-Achse hat.
Geben Sie den Funktionsterm und den Wertebereich an, die zu Ihrer Wahl von $b$ und $d$ passen. (5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir die Parameter b und d einer trigonometrischen Funktion bestimmen. Gegeben ist die Funktionsgleichung y ist gleich fünf mal Kosinus von bx minus d.
Trigonometrische Funktionen bestimmen
Zuerst schauen wir uns die Periodenlänge p an. Diese soll ein halb betragen. Wir wissen, dass bei einer Kosinusfunktion die Periode p durch zwei Pi geteilt durch b definiert ist.
1. Bestimmung von b
Setzen wir den gegebenen Wert für p gleich ein halb ein.
Durch Umstellen nach b erhalten wir, das b gleich vier mal Pi ist.
Als nächstes betrachten wir den Parameter d. Die Bedingung ist, dass das Schaubild Schnittpunkte mit der x-Achse haben muss.
2. Bestimmung von d
Die Amplitude der Schwingung ist fünf. Das bedeutet, der Kosinus-Teil schwankt zwischen minus fünf und plus fünf.
Damit Nullstellen existieren, muss die Verschiebung d so gewählt werden, dass die Ruhelage nicht weiter als die Amplitude von der x-Achse entfernt ist. Der Betrag von d muss also kleiner oder gleich fünf sein.
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