Parabol Eşitsizlik Sistemi ve Tam Sayı İkilileri
Yayınlanma:
2. Dik koordinat düzleminde
$$f(x) = x^2 + x - 2$$
$$g(x) = -x^2 + x + 6$$
parabollerinin grafikleri A ve B noktalarında kesişmektedirler.
k ve n birer tam sayı olmak üzere,
* $f(k) \leq n$
* $g(k) \geq n$
eşitsizlik sistemini sağlayan (k, n) ikililerinin kaç tanesi f veya g parabollerinin grafiği üzerindedir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Bu soruda, f ve g parabollerinin arasındaki bölgede kalan ve aynı zamanda parabollerin üzerinde olan tam sayı ikililerini bulmamız isteniyor.
Parabol Kesişimi ve Tam Sayı İkilileri
İlk adım olarak, bu iki parabolün kesişim noktalarını bulalım. Fonksiyonları birbirine eşitleyerek başlayalım.
Eşitliğin her iki tarafındaki x'ler sadeleşir. Eksi x kareyi sola artı olarak, eksi ikiyi sağa artı olarak atarsak iki x kare eşittir sekiz sonucuna ulaşırız.
Buradan x kare dört gelir. Yani kesişim noktalarının apsisleri eksi iki ve artı ikidir.
Şimdi eşitsizlik sistemine bakalım. n değeri, fonksiyonların değerleri arasında veya üzerinde olmalıdır.
Eşitsizlik Sistemi
Burada k ve n tam sayıdır. Soru, bu n değerlerinden hangilerinin tam olarak f(k) veya g(k) değerine eşit olduğunu soruyor.
Kesişim x değerleri eksi iki ve iki olduğuna göre, k tam sayısı bu aralıktaki değerleri alabilir: eksi iki, eksi bir, sıfır, bir ve iki.
Her bir k değeri için f k ve g k değerlerini hesaplayalım. Bir tablo oluşturmak işimizi kolaylaştıracaktır.
| k | f(k) = k^2+k-2 | g(k) = -k^2+k+6 |
|---|---|---|
| -2 | 0 | 0 |
| -1 | -2 | 4 |
| 0 | -2 | 6 |
| 1 | 0 | 6 |
| 2 | 4 | 4 |
Soru bize f k küçük eşit n küçük eşit g k şartını sağlayan ve paraboller üzerinde olan, yani n'nin f k'ya veya g k'ya eşit olduğu durumları soruyor.
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
