Parabol Eğrisi Altında Kalan Sarı Bölgenin Alanı

Merhaba! Bu soruda, koordinat düzleminde verilen bir f parabolünün grafiğini ve bu grafiğin sınırladığı sarı boyalı bölgenin alanını inceleyeceğiz.

İlk adım olarak, parabolün denklemini yazmamız gerekiyor. Grafiğe baktığımızda parabolün x eksenini kestiği noktaları yani köklerini görebiliyoruz.

Parabol x eksenini bir ve üç noktalarında kesiyor. Ayrıca parabolün üzerindeki başka bir noktayı da biliyoruz: y eksenini kestiği noktanın ordinatı altı. Yani sıfıra altı noktası bu parabolün üzerindedir.

Parabolün genel denklemini kökleri kullanarak yazalım. f x eşittir a çarpı x eksi bir çarpı x eksi üç şeklinde olur.

Şimdi a kat sayısını bulmak için sıfıra altı noktasını yerine koyalım. Altı eşittir a çarpı sıfır eksi bir çarpı sıfır eksi üç.

İşlemleri yaptığımızda altı eşittir üç a elde ederiz. Buradan a değeri iki olarak bulunur.

O halde parabol denklemimiz f x eşittir iki çarpı x eksi bir çarpı x eksi üçtür. Parantezleri dağıtırsak, iki x kare eksi sekiz x artı altı sonucuna ulaşırız.

Şimdi de sarı boyalı bölgenin alanını hesaplayalım. Bu alan, parabolün bir ve üç noktaları arasında x ekseni ile sınırladığı bölgedir.

Grafikte gördüğümüz gibi bu bölge x ekseninin altında kalıyor. Bu yüzden integralin sonucu negatif çıkacaktır. Alan pozitif olmalı, bu yüzden ifademizin önüne bir eksi koyarak hesaplıyoruz.