n! . (3n + 1) ve 13 Aralarında Asal Sayılar

Merhaba Hale, bu soruyu birlikte çözelim. Sorumuzda n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n faktöriyel çarpı üç n artı bir sayısının on üç ile aralarında asal olduğu belirtilmiş. Bizden n'nin kaç farklı değer alabileceğini bulmamız isteniyor.

İlk olarak aralarında asallık kavramını inceleyelim. On üç sayısı bir asal sayıdır. Dolayısıyla n faktöriyel çarpı üç n artı bir ifadesi ile on üç sayısının aralarında asal olması için, bu çarpımın on üç ile bölünmemesi gerekir.

Bunu matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz: On üç sayısı, n faktöriyel çarpı üç n artı bir çarpımını bölmemelidir.

On üç sayısı asal olduğundan, çarpımın on üçe bölünmemesi için çarpanların her ikisinin de on üçe bölünmemesi gerekir. Yani on üç sayısı hem n faktöriyeli bölmemeli, hem de üç n artı biri bölmemelidir.

Şimdi bu iki koşulu sırayla inceleyelim. İlk olarak, on üç sayısının n faktöriyeli bölmeme durumunu ele alalım.

On üç bir asal sayıdır. Bir faktöriyel ifadesinin asal bir sayı olan on üç ile bölünebilmesi için, faktöriyeli alınan sayının en az on üç olması gerekir. Çünkü n on üçten büyük veya eşit olduğunda, açılımın içinde on üç çarpanı yer alacaktır.

Bu durumda, n faktöriyelin on üç ile bölünmemesi için n değerinin kesinlikle on üçten küçük olması gerekir.

n sayısının bir pozitif tam sayı olduğu soruda belirtilmişti. Dolayısıyla n'nin alabileceği ilk değerler kümesi birden on ikiye kadar olan tam sayılardır.

Gördüğümüz gibi, başlangıçta n için elimizde on iki farklı olası değer bulunmaktadır.

Şimdi ikinci koşulumuza geçelim. Üç n artı bir ifadesinin on üç ile bölünmeme durumunu inceleyelim.