Mutlak Değerli Fonksiyonun Türevlenebilirliği ve Ekstremum Noktaları

Merhaba Döne, gel bu güzel AYT türev ve mutlak değer sorusunu birlikte adım adım inceleyelim.

Fonksiyonumuz mutlak değer içinde üçüncü dereceden bir polinom. Hatırlayacağın üzere, mutlak değerin içini sıfır yapan tek katlı köklerde fonksiyonun türevi yoktur, ancak çift katlı köklerde türev vardır.

İçerideki ifadeyi çarpanlarına ayıralım. x kare eksi dokuz ifadesi, x eksi üç ile x artı üçün çarpımıdır. Dolayısıyla fonksiyonumuz, x eksi üç, x artı üç ve x artı a çarpanlarının çarpımının mutlak değeridir.

Soruda fonksiyonun sadece bir noktada türevsiz olduğu söylenmiş. Bu ancak köklerden ikisinin birleşip çift katlı kök oluşturmasıyla mümkündür.

Köklerimiz üç, eksi üç ve eksi a değerleridir. 'a' pozitif bir gerçel sayı olduğu için eksi a değeri negatif olmalıdır.

Eksi a, üç ile eşleşemez çünkü a pozitif. O halde eksi a, eksi üçe eşit olmalıdır. Buradan a sayısını üç olarak buluruz.

Şimdi fonksiyonu güncelleyelim. x artı üç çarpanı karesi haline gelirken, x eksi üç çarpanı tek kalır. İşte türevsizlik noktası bu x eşittir üç noktasıdır.

Fonksiyonun grafiğini hayal etmeye çalışalım veya ekstremum noktalarını bulmak için türevini alalım. Mutlak değerin içindeki ifadeye g x diyelim.

Türevi sıfıra eşitlemek için ifadeyi x artı üç parantezine alalım.