Mutlak Değer ve İşaret Analizi Sorusu

Question

8. a, b ve c gerçel sayılar olmak üzere
$$(|a| - a) \cdot (|b| - b) \cdot (|c| - c) > 0$$
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre
I. $|a + b + c| = -(a + b + c)$
II. $a \cdot b \cdot c > 0$
III. $a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c > 0$
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I ve III

Solvi · Accepted Answer

Selamlar! Bu soruda mutlak değer ve eşitsizlik kavramlarını kullanarak a, b ve c sayılarının işaretlerini belirleyeceğiz. Bize verilen ana eşitsizliğe odaklanalım. Üç ifadenin çarpımı sıfırdan büyük olarak verilmiş. Mutlak değerin temel özelliğini hatırlayalım: Eğer bir x sayısı sıfırdan büyük veya eşitse, mutlak x eksi x ifadesi sıfıra eşit olur. Ancak bizim çarpımımız sıfırdan büyük, yani çarpanlardan hiçbiri sıfır olamaz. Bu durumda a, b ve c sıfır olamaz. Eğer x sayısı sıfırdan küçükse, mutlak değer dışarı eksi x olarak çıkar. Bu durumda mutlak x eksi x ifadesi, eksi iki x olur ve bu değer daima pozitiftir. Çarpımın pozitif çıkması için, çarpanların ya üçü de pozitif olmalı ya da biri pozitif diğer ikisi negatif olmalıdır. Fakat mutlak x eksi x asla negatif olamaz! Çünkü mutlak değer her zaman sayının kendisinden büyük veya eşittir. Bu durumda her bir parantez içi ayrı ayrı pozitif olmak zorundadır. Yani mutlak a eksi a, mutlak b eksi b ve mutlak c eksi c ifadelerinin hepsi sıfırdan büyüktür. Bu da bize a, b ve c sayılarının her birinin ayrı ayrı negatif olduğunu söyler.

Mutlak Değer ve İşaret Analizi Sorusu

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm