Modellierung des Lufttemperaturverlaufs
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Erfahrene Meteorologen sagen voraus, dass der Lufttemperaturverlauf (in $^\circ C$) an einem bestimmten Ort in den nächsten 24 Stunden näherungsweise durch die Funktion $T$ mit $T(t) = -8 \cos(\frac{\pi}{12} \cdot t) + 6 ; t \ge 0$, $t$ in Stunden, beschrieben werden kann.
Dabei ist $t = 0$ um 6:00 Uhr.
4.5 Berechnen Sie, welche Höchst- bzw. Tiefsttemperatur nach diesem Modell in den nächsten 24 Stunden zu erwarten ist.
Geben Sie alle Uhrzeiten an, zu welchen die Höchst- bzw. Tiefsttemperatur erreicht wird. (4 Punkte)
4.6 Bestimmen Sie die Werte von $t$, für die die Temperaturen über $0^\circ C$ liegen. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Hallo zusammen! Wir werden heute Schritt für Schritt die Temperaturentwicklung analysieren, die durch unsere Kosinusfunktion gegeben ist. Zuerst betrachten wir die Funktion und deren Parameter.
Temperaturverlauf
$T(t) = -8 \cos(\frac{\pi}{12} \cdot t) + 6$
Intervall: $0 \le t \le 24$ Stunden
Start: $t=0$ ist 6:00 Uhr
In Aufgabe vier Punkt fünf sollen wir die Höchst- und Tiefsttemperatur berechnen. Da die Kosinusfunktion zwischen minus eins und eins schwankt, können wir die Extremwerte direkt ablesen.
4.5 Höchst- und Tiefsttemperatur
Die Amplitude der Funktion ist acht, und die Verschiebung nach oben beträgt sechs. Wir berechnen die Tiefsttemperatur, wenn der Kosinus-Teil eins ist.
Die Höchsttemperatur erreichen wir, wenn der Kosinus-Teil minus eins ist, da minus acht mal minus eins plus acht ergibt.
Nun bestimmen wir, wann diese Temperaturen erreicht werden. Der Kosinus ist gleich eins, wenn sein Argument ein Vielfaches von zwei Pi ist.
Für t gleich null erhalten wir die Tiefsttemperatur. Da t gleich null sechs Uhr morgens entspricht, ist die erste Tiefsttemperatur um sechs Uhr.
Für t gleich vierundzwanzig gilt ebenfalls der Tiefstwert. Das entspricht sechs Uhr am nächsten Tag.
Der Kosinus ist minus eins, wenn das Argument Pi ist. Löst man nach t auf, erhält man t gleich zwölf.
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