Minimum Mesafe ve Üçgen Alanı
Yayınlanma:
22. Aşağıdaki dik koordinat düzleminde $y = \sqrt{x}$ eğrisi ve $y = x$ doğrusu verilmiştir.
[Görsel açıklama: $y = \sqrt{x}$ eğrisi ve $y = x$ doğrusunun koordinat düzlemindeki grafiği; aralarındaki dikey mesafeyi temsil eden bir doğru parçası.]
Buna göre $|AB|$ uzunluğunun alabileceği en küçük değer için A, B ve C noktalarını köşe olarak kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) $\frac{3}{32}$ B) $\frac{1}{16}$ C) $\frac{1}{6}$ D) $\frac{1}{4}$ E) $\frac{3}{16}$
Soruda görsel içerik var: Bir dik koordinat düzleminde $y = \sqrt{x}$ eğrisi (pembe) ve $y = x$ doğrusu (mavi) çizilmiştir. Bu iki grafik orijin $(0,0)$ ve $(1,1)$ noktasında kesişmektedir. $x=a$ (burada $0 < a < 1$) düşey doğrusu üzerinde; $y = \sqrt{x}$ eğrisi üzerinde A noktası, $y = x$ doğrusu üzerinde B noktası işaretlenmiştir. C noktası $y = \sqrt{x}$ ve $y = x$ eğrilerinin birinci bölgedeki kesişim noktasıdır. Düşey çizgi $x$ eksenine dik olarak gösterilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Helinakhal, gel bu türev ve alan sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Problemin Analizi
Grafikte y eşittir karekök x eğrisi ile y eşittir x doğrusu verilmiş. İlk iş olarak, bu iki grafiğin kesişim noktası olan C noktasını belirleyelim.
Denklemin her iki tarafının karesini alırsak, x eşittir x kare elde ederiz. Buradan x parantezinde x eksi bir eşittir sıfır olur.
Orijin dışındaki kesişim noktası x eşittir bir değeridir. Bu değer için hem eğri hem doğru bir değerini alır, yani C noktası bir virgül bir koordinatlarına sahiptir.
Şimdi A ve B noktaları arasındaki mesafeyi ifade edelim. A noktası eğri üzerinde, B noktası doğru üzerindedir. Herhangi bir x apsisi için bu mesafeye f x diyelim.
Mesafenin Maksimizasyonu
Bu mesafenin en büyük değerini alması için fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz. f x'in türevini alalım.
Türevi sıfıra eşitlediğimizde, bir bölü iki karekök x eşittir bir, yani iki karekök x eşittir bir olur.
Buradan karekök x bir bölü iki ve x eşittir bir bölü dört sonucuna ulaşırız. Demek ki mesafe x eşittir bir bölü dörtte maksimum oluyor.
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
