Logaritmik Kümeler ve Denklem Sistemleri

Merhaba! Logaritma ve küme kavramlarını birleştiren güzel bir soruyla karşı karşıyayız. Soruda bize iki tane küme verilmiş ve kesişimlerinin bir elemanlı olduğu söylenmiş. Ayrıca b, c ve d sayıları arasındaki bazı bağıntılar da verilmiş. Hadi adım adım çözelim.

Önce A ve B kümelerine bakalım. A kümesinde logaritma a tabanında b ve logaritma a tabanında sekiz bölü c var. B kümesinde ise logaritma a tabanında d ve logaritma b tabanında a var.

Kesişim kümesinin bir elemanlı olması, bu kümelerin ortak tek bir değere sahip olduğu anlamına gelir. İncelediğimizde, B kümesindeki logaritma b tabanında a ifadesi, logaritma a tabanında b'nin çarpmaya göre tersidir. Yani bir bölü logaritma a tabanında b olarak yazılabilir.

Eğer ortak eleman logaritma a tabanında b ile logaritma a tabanında d olsaydı, b eşittir d olurdu. Ancak soruda a, b, c, ve d'nin birbirinden farklı olduğu belirtilmiş. Bu yüzden bu durum mümkün değildir. O halde ortak eleman logaritma a tabanında b ile bir bölü logaritma a tabanında b eşitliği üzerinden gelmelidir.

Bu durumda logaritma a tabanında b'nin karesi bire eşittir. Yani logaritma a tabanında b ya bir ya da eksi bir olur. logaritma a tabanında b bir olursa b eşittir a olur ki bu şartlarımıza aykırı. Demek ki logaritma a tabanında b eksi bire eşittir.

Buradan b eşittir a ustu eksi bir yani b eşittir bir bölü a çıkar. Ancak soruda a ve b birden büyük dendiği için bu da mümkün değil. Demek ki kesişim elemanı logaritma a tabanında sekiz bölü c olmalı.

Şimdi diğer ihtimali deneyelim. A kümesinden ikinci eleman ile B kümesinden birinci eleman birbirine eşit olsun. Yani logaritma a tabanında sekiz bölü c eşittir logaritma a tabanında d diyelim.

Elimizde artık b, c, d çarpımının yirmi dört olduğu bilgisi var. c çarpı d yerine sekiz yazarsak, sekiz b eşittir yirmi dört olur. Buradan b'yi üç olarak buluruz.