Kurvenuntersuchung und Funktionen-Graphen-Zuordnung
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1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x^4 - 6x^2 + 13$, $x \in \mathbb{R}$. (4 Punkte)
1.4 Gegeben sind die Abbildungen A, B und C. Sie zeigen die Schaubilder einer Funktion $h$, der Ableitungsfunktion $h'$ von $h$ und einer weiteren Funktion $k$. Begründen Sie, welche Abbildung zum Schaubild von $h, h'$ und $k$ gehört. (3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Drei Koordinatensysteme (A, B, C) sind nebeneinander dargestellt. Graph A: Eine Parabel-ähnliche Kurve, die die x-Achse bei ca. -1,5 und 1,5 schneidet und ein lokales Minimum unter der x-Achse hat. Graph B: Eine Funktion mit zwei lokalen Extrema und einem Wendepunkt; sie verläuft im positiven y-Bereich und hat ein lokales Maximum bei ca. x=-1 und ein lokales Minimum bei ca. x=2. Graph C: Eine Funktion, die die x-Achse berührt (doppelte Nullstelle bei x=-1) und ein lokales Maximum im positiven Bereich bei x=1 hat. Alle Graphen sind auf Millimeterpapier-Hintergrund mit beschrifteten Achsen (x von -3 bis 3, y von -2 bis 6) gezeichnet.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen zu dieser Aufgabe. Wir schauen uns heute das Teilproblem eins punkt drei an: Die Berechnung der Koordinaten der Wendepunkte der Funktion f von x gleich ein Drittel x hoch vier minus sechs x quadrat plus dreizehn.
Aufgabe 1.3
Um Wendepunkte zu finden, benötigen wir die notwendige Bedingung, dass die zweite Ableitung gleich null ist. Berechnen wir also zuerst die erste Ableitung f strich von x.
Als nächstes bestimmen wir die zweite Ableitung f zwei strich von x, indem wir f strich erneut ableiten.
Für die Wendestellen setzen wir die zweite Ableitung gleich null.
Wir addieren zwölf auf beiden Seiten und erhalten vier x quadrat gleich zwölf.
Teilen wir nun durch vier, ergibt sich x quadrat gleich drei.
Daraus ergeben sich zwei mögliche x-Werte für die Wendestellen: plus Wurzel drei und minus Wurzel drei.
Um sicherzugehen, dass es sich wirklich um Wendepunkte handelt, prüfen wir die Hinreichende Bedingung mit der dritten Ableitung.
Hinreichende Bedingung
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