Analyse von Polynomfunktionen anhand einer Wertetabelle
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1.1 Gegeben ist folgende Wertetabelle einer Polynomfunktion $f$, ihrer Ableitungsfunktion $f'$ und ihrer zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Das Schaubild von $f$ heißt $K_f$.
| $x$ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f$ | 17,25 | 1,78 | -1,86 | 0 | 3,03 | 4,89 | 5,25 | 5,78 |
| $f'$ | -24 | -8,33 | 0 | 3 | 2,67 | 1 | 0 | 1,67 |
| $f''$ | 20 | 11,67 | 5,33 | 1 | -1,33 | -1,67 | 0 | 3,67 |
Prüfen Sie mit Hilfe der Tabelle, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.
a) $K_f$ hat bei $x = -1$ einen Hochpunkt.
b) Die Steigung der Tangente von $K_f$ im Schnittpunkt mit der y-Achse ist 3.
c) Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x = 2$ beträgt 1.
d) $f$ hat mindestens zwei Nullstellen. (8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: A table with four rows and nine columns of numerical data. The first column labels the rows as $x$, $f$, $f'$, and $f''$. The subsequent eight columns contain values for $x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ and their corresponding function values $f(x)$, first derivative $f'(x)$, and second derivative $f''(x)$. For example, for $x=-1$: $f=-1,86$, $f'=0$, $f''=5,33$. For $x=0$: $f=0$, $f'=3$, $f''=1$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir anhand einer Wertetabelle prüfen, ob bestimmte Aussagen über eine Polynomfunktion ef, ihre Ableitung ef-strich und ihre zweite Ableitung ef-zwei-strich wahr oder falsch sind.
Analyse der Funktion f anhand der Wertetabelle
Betrachten wir Aussage a: Der Graph von ef hat bei x gleich minus eins einen Hochpunkt.
Aussage a)
$K_f$ hat bei $x = -1$ einen Hochpunkt.
Für einen Hochpunkt muss die erste Ableitung an dieser Stelle null sein und die zweite Ableitung muss kleiner als null sein. Schauen wir in die Tabelle in der Spalte für x gleich minus eins.
Wir sehen: Ef-strich von minus eins ist tatsächlich null. Das ist ein notwendiges Kriterium für ein Extremum.
Allerdings ist ef-zwei-strich von minus eins gleich fünf komma drei drei. Da dies größer als null ist, liegt an dieser Stelle kein Hochpunkt, sondern ein Tiefpunkt vor.
Daher ist Aussage a falsch.
Kommen wir zu Aussage b: Die Steigung der Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse ist drei.
Aussage b)
Steigung der Tangente bei Schnittpunkt mit der y-Achse ist 3.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse befindet sich immer bei x gleich null. Die Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht dem Wert der ersten Ableitung, also ef-strich von null.
In der Tabelle finden wir für x gleich null den Wert ef-strich gleich drei.
Dies stimmt exakt mit der Behauptung überein. Somit ist Aussage b wahr.
Aussage c besagt: Der Funktionswert von ef an der Stelle x gleich zwei beträgt eins.
Aussage c)
Der Funktionswert $f(2)$ beträgt 1.
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