Analyse einer Funktion anhand ihres Ableitungsgraphen
Veröffentlicht:
Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_{g'}$ der ersten Ableitungsfunktion $g'$ einer Funktion $g$.
2.3 Begründen Sie, ober die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a) An der Stelle $x = 3$ besitzt das Schaubild von $g$ einen Tiefpunkt.
b) Das Schaubild von $g$ hat zwei Wendepunkte.
c) Für $1 \le x \le 2$ verläuft das Schaubild von $g$ in einer Rechtskurve.
(6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit einer x- und y-Achse. Die y-Achse ist von 0 bis 4 markiert, die x-Achse ist von -1 bis 4 markiert. Eine Kurve mit der Bezeichnung $K_{g'}$ ist eingezeichnet. Die Kurve ist der Graph der Ableitungsfunktion $g'$. Die Kurve hat eine Nullstelle bei circa $x = -0.5$ (steigend), erreicht ein lokales Maximum bei $x = 0.5$ mit $y \approx 3.8$, fällt dann ab und berührt die x-Achse bei $x = 3$ (lokales Minimum der Ableitung, Berührungspunkt), um danach wieder steil anzusteigen. Im Bereich $1 \le x \le 2$ hat der Graph der Ableitung eine negative Steigung.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir das Schaubild der Ableitungsfunktion g Strich von x und bewerten drei Aussagen über die ursprüngliche Funktion g.
Analyse der Ableitungsfunktion $g'$
Wichtig ist: Das Diagramm zeigt nicht g, sondern g Strich. Wir müssen also die Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen nutzen.
Betrachten wir Aussage a: Besitzt g bei x gleich drei einen Tiefpunkt? Schauen wir uns den Graphen von g Strich bei x gleich drei an.
Aussage a)
An $x=3$ besitzt $g$ einen Tiefpunkt.
Bei x gleich drei ist der Wert der Ableitung zwar Null, aber es findet kein Vorzeichenwechsel statt. Die Funktion g Strich ist links von drei positiv und rechts von drei ebenfalls positiv.
Das bedeutet, die Funktion g hat dort einen Sattelpunkt, aber keinen Tiefpunkt. Die Aussage ist also falsch.
Weiter zu Aussage b: Hat g zwei Wendepunkte? Wendepunkte von g entsprechen den Extrema der Ableitungsfunktion g Strich.
Aussage b)
Das Schaubild von $g$ hat zwei Wendepunkte.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
6 weitere Schritte sind gesperrt. Sieh dir die komplette animierte Lösung kostenlos an.
Mach ein Foto, löse jede Aufgabe so.
Den Rest kostenlos ansehen
Kostenloser Download · Erste Lösungen geschenkt
