Funktionsanalyse: Vergleich zwischen Schaubild und Wertetabelle
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1.5 Gegeben ist das Schaubild $K_f$ einer Funktion $f$ sowie eine Wertetabelle von $f$, $f'$ sowie $f''$. Die Wertetabelle enthält genau vier Fehler.
Begründen Sie, welche Werte nicht mit dem Schaubild $K_f$ übereinstimmen.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline f(x) & 0 & 2 & 0 & 0 \\ \hline f'(x) & 0 & 0,8 & 3,2 & -7,2 \\ \hline f''(x) & -3 & -2,4 & 0 & 12 \\ \hline \end{array}$$
(8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt einen Graphen $K_f$ einer Funktion $f$ in einem kartesischen Koordinatensystem und eine zugehörige Wertetabelle. Der Graph ist eine Kurve vierten Grades mit lokalen Minima bei ca. $x = -2$ (Berührungspunkt mit x-Achse) und ca. $x = 3.5$, sowie einem lokalen Maximum zwischen $x = 0$ und $x = 1$. Die x-Achse ist von -3 bis 4 beschriftet, die y-Achse von -2 bis 3. Die Wertetabelle enthält Zeilen für $x$, $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ für die x-Werte -2, 0, 2 und 4. Konkrete Werte in der Tabelle: Für x=-2: f(x)=0, f'(x)=0, f''(x)=-3. Für x=0: f(x)=2, f'(x)=0.8, f''(x)=-2.4. Für x=2: f(x)=0, f'(x)=3.2, f''(x)=0. Für x=4: f(x)=0, f'(x)=-7.2, f''(x)=12.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir eine Wertetabelle für die Funktion f und ihre ersten beiden Ableitungen überprüfen. Uns wird gesagt, dass genau vier Werte in der Tabelle nicht zum Graphen passen. Gehen wir die Tabelle Spalte für Spalte durch.
Analyse der Wertetabelle
Betrachten wir zuerst die x-Stelle minus zwei. Laut Graph liegt hier ein lokaler Tiefpunkt auf der x-Achse.
x = -2
Da es ein Tiefpunkt ist, muss die Kurve dort nach oben gekrümmt sein, also muss die zweite Ableitung positiv sein. In der Tabelle steht jedoch ein negativer Wert, minus drei. Das ist unser erster Fehler.
Weiter geht es mit x gleich null. Der Graph schneidet die y-Achse bei y gleich drei, aber in der Tabelle steht eine zwei. Das ist der zweite Fehler.
x = 0
Schauen wir uns die Steigung bei x gleich null an. Dort liegt ein lokales Maximum, also muss die erste Ableitung null sein. Die Tabelle gibt null Komma acht an. Fehler Nummer drei.
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