Analyse von Funktionen anhand des Ableitungsgraphen
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1.3 Gegeben ist der Ausschnitt aus dem Schaubild einer Ableitungsfunktion $f'$. Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a) Das Schaubild der zugehörigen Funktion $f$ besitzt einen Hochpunkt.
b) Das Schaubild der zugehörigen Funktion $f$ ist rechts gekrümmt für $x \le 0$.
c) $f'(0) > 0$
(6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen $K_{f'}$ einer Ableitungsfunktion $f'$. Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel-ähnliche Kurve im negativen x-Bereich, die die y-Achse im positiven Bereich schneidet, dann ein lokales Minimum auf der x-Achse (Berührpunkt) im positiven x-Bereich hat und danach wieder ansteigt. Die y-Achse und x-Achse sind beschriftet.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir den Graphen einer Ableitungsfunktion f-Strich und überprüfen drei Aussagen über die ursprüngliche Funktion f.
Analyse der Ableitungsfunktion $f'$
Wichtig ist: Das Bild zeigt den Graphen von f-Strich, nicht von f. Wir betrachten zuerst Aussage a: Das Schaubild der Funktion f besitzt einen Hochpunkt.
Aussage a)
f besitzt einen Hochpunkt.
Ein Hochpunkt liegt vor, wenn die Ableitung f-Strich eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus hat.
Schauen wir uns den Graphen an. Wir sehen zwei Nullstellen. An der linken Nullstelle wechselt der Graph von Minus nach Plus.
Das entspricht einem Tiefpunkt. An der rechten Nullstelle berührt der Graph nur die x-Achse, es gibt also gar keinen Vorzeichenwechsel.
Linke Nullstelle: VZW $- \to +$ (Tiefpunkt)
Rechte Nullstelle: Berührpunkt (kein Extrempunkt)
Da es keinen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus gibt, hat f keinen Hochpunkt. Aussage a ist also falsch.
Kommen wir zu Aussage b: Das Schaubild von f ist rechtsgekrümmt für x kleiner oder gleich Null.
Aussage b)
f ist rechtsgekrümmt für $x \le 0$.
Rechtskrümmung bedeutet, dass die zweite Ableitung f-Strich-Strich negativ ist. Das ist gleichbedeutend damit, dass die erste Ableitung f-Strich streng monoton fallend ist.
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