Kurvendiskussion und Extremwertaufgabe einer Funktion dritten Grades
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Aufgabe 4 (30 Punkte) Gegeben ist die Funktion f mit $$f(x) = \frac{1}{5}x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{2}x, x \in \mathbb{R}$$ und ihr Schaubild $K_f$.
4.1 Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Punkt $P(0|f(0))$. Im Punkt B auf $K_f$ besitzt die Tangente dieselbe Steigung wie in P. Bestimmen Sie die Koordinaten von B. (7 Punkte)
4.2 Die Gerade $x = u$ schneidet $K_f$ für $-5 \leq u \leq 0$ im Punkt Q und die x-Achse im Punkt R. Der Koordinatenursprung O bildet mit den Punkten Q und R ein Dreieck. Zeichnen Sie in das obige Schaubild das Dreieck OQR für $u = -4$ ein. Berechnen Sie, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (8 Punkte)
4.3 Begründen Sie, dass das Schaubild jeder Stammfunktion von f an der Stelle $x = 0$ einen Hochpunkt hat. Geben Sie die Stammfunktion an, deren Schaubild den Hochpunkt in $H(0|-3)$ hat. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein Koordinatensystem mit dem Graphen $K_f$ einer kubischen Funktion. Die x-Achse reicht von -5 bis 2, die y-Achse von -1 bis 6. Der Graph zeigt eine Linkskurve, die die x-Achse bei ca. -5, 0 und 1.5 schneidet. Es gibt einen Hochpunkt etwa bei $(-3, 6)$ und einen Tiefpunkt etwa bei $(1, -0.5)$. Der Punkt $P(0|0)$ ist der Ursprung, an dem die Funktion eine negative Steigung aufweist. Ein Gitternetz ist hinterlegt, um Koordinaten abzulesen.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Hallo! Gehen wir diese umfassende Analysis-Aufgabe Schritt für Schritt durch. Beginnen wir mit der Teilaufgabe vier Punkt eins.
4.1 Tangente und Punkt B
Wir suchen die Tangentengleichung im Punkt P bei x gleich null. Wenn wir null in unsere Funktion f einsetzen, erhalten wir null. P liegt also im Ursprung.
Für die Steigung der Tangente benötigen wir die erste Ableitung. Nach den Potenzregeln erhalten wir für f Strich von x diesen Ausdruck.
Die Steigung m im Punkt P erfordert f Strich von null. Das ergibt minus drei Halbe oder als Dezimalzahl minus eins Komma fünf.
Da die Tangente durch den Ursprung verläuft, lautet ihre Gleichung schlicht y gleich minus eins Komma fünf mal x.
Als Nächstes suchen wir einen Punkt B mit derselben Tangentensteigung. Wir setzen also unsere Ableitung gleich minus eins Komma fünf. Der Einfachheit halber schreibe ich die Brüche als Dezimalzahlen.
Wenn wir auf beiden Seiten eins Komma fünf addieren, fällt der konstante Term weg.
Wir klammern ein x aus. Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
Die Lösung x gleich null gehört schon zum Punkt P. Für unseren Punkt B setzen wir den Ausdruck in der Klammer gleich null.
Diese lineare Gleichung lässt sich leicht umformen. Wir subtrahieren eins Komma fünf und teilen durch null Komma sechs. Wir erhalten minus zwei Komma fünf.
Um den zugehörigen y-Wert zu finden, setzen wir das berechnete x in die ursprüngliche Funktion f ein. Das ergibt exakt fünf Komma drei eins zwei fünf.
Damit sind die Koordinaten für den Punkt B vollständig bestimmt.
In Aufgabe vier Punkt zwei betrachten wir ein Dreieck, das vom Ursprung O, einem verschiebbaren Punkt R auf der negativen x-Achse und dem Punkt Q auf dem Graphen aufgespannt wird.
4.2 Maximaler Flächeninhalt
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