Kümelerde İspat Analizi

Bir öğrenci doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlamak istiyor. İddia: A ve B herhangi iki küme olmak üzere, $A \cap (B - A) = \emptyset$ 'dir. Öğrencinin ispatı: $A \cap (B - A) = \emptyset$ olduğunu göstermek için hem $\emptyset \subseteq A \cap (B - A)$ hem de $A \cap (B - A) \subseteq \emptyset$ olduğunu göstermem gerekir. $\emptyset$, her kümenin alt kümesidir. Dolayısıyla $\emptyset \subseteq A \cap (B - A)$ dır. Eğer $A \cap (B - A) \subseteq \emptyset$ olduğunu gösterirsem ispat biter. Şimdi $x \in A \cap (B - A)$ alalım. Bu durumda $x \in A$ ve $x \in (B - A)$ olur. Buradan, I. adım: $B - A = A' \cap B$ olup $A \cap (A' \cap B)$ için $x \in A$ ve $x \in A' \cap B$ dir. II. adım: $x \in A$ ve $(x \in A'$ ve $x \in B)$ olur. III. adım: $x \in (A \cap A')$ ve $x \in B$ dir. IV. adım: Buradan $A \cap A' = \emptyset$ ve $x \in (\emptyset \cap B)$ olup $x \in \emptyset$ dir. O hâlde $A \cap (B - A) \subseteq \emptyset$ olur ve ispat biter. Buna göre, öğrencinin yaptığı ispat ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) İspat doğrudur. B) I. adım hatalıdır. C) II. adım hatalıdır. D) III. adım hatalıdır. E) IV. adım hatalıdır.