Küme Elemanları Toplamı Problemi

Merhaba Nisanur, bu güzel küme sorusunu adım adım birlikte çözelim. İlk olarak soruda bize verilen birleşim kümesini ve koşulları inceleyelim.

Kümelerimizi daha rahat analiz edebilmek için bir Venn şeması kullanalım. A fark B, kesişim bölgesi ve B fark A olmak üzere üç temel bölgemiz var.

Şimdi A kümesinin elemanları toplamının, B kümesinin elemanları toplamına eşit olduğu bilgisini kullanalım. Matematiksel olarak ifade edelim.

Bir kümenin elemanlarının toplamını, kesişim ve fark kümelerinin elemanları toplamı şeklinde yazabiliriz. Dolayısıyla bu eşitliği her iki bölge cinsinden açalım.

Kesişim kümesinin elemanları toplamını her iki taraftan sadeleştirdiğimizde, A fark B'nin elemanları toplamının, B fark A'nın elemanları toplamına eşit olduğunu buluruz.

Analizimizi kolaylaştırmak amacıyla bu üç bölgeyi X, Y ve Z harfleriyle isimlendirelim. X, A fark B'yi; Y, kesişim kümesini; Z ise B fark A'yı temsil etsin.

İlk olarak kesişim kümesi yani Y ile ilgili olan ipucunu inceleyelim. Y kümesinden seçilen iki elemanın farkı sekizmiş. Birden dokuza kadar olan sayılar içinde farkı sekiz olan tek ikili bir ve dokuzdur.

Böylece bir ve dokuz elemanlarının kesinlikle kesişim kümesinde yer aldığını belirlemiş olduk.

Şimdi B fark A yani Z kümesinin ipucuna geçelim. Bu kümedeki iki elemanın çarpımı sekiz olmalıymış.

Çarpımları sekiz olan aday çiftlerimiz bir ile sekiz ya da iki ile dörttür. Ancak bir elemanının kesişim kümesinde olduğunu bulmuştuk. Bu yüzden bir elemanı Z kümesinde olamaz. Geriye tek seçenek olarak iki ve dört kalır.

Harika! İki ve dört elemanlarının kesin olarak B fark A kümesinde olduğunu belirledik.

Şimdi de A fark B yani X kümesinin ipucuna bakalım. X kümesindeki iki elemanın toplamı sekiz olmalıymış.