Küme Elemanları Toplamı Problemi

Merhaba sevgili arkadaşlar. Bu sorumuzda, elemanlarının toplamı birbirine eşit olan ve doğal sayılar kümesinin alt kümesi olan A, B ve C kümeleriyle ilgili bazı bilgiler verilmiş. Bizden de bu kümelerin birleşiminin elemanları toplamının hangileri olabileceğini bulmamız isteniyor. Hadi adım adım çözelim.

İlk olarak, verilen kartezyen çarpım elemanlarından yola çıkarak hangi elemanların hangi kümede kesinlikle yer aldığını belirleyelim.

Bu durumda B kümesinin en az iki elemanı olduğunu görüyoruz. Bunlar iki ve beştir.

Şimdi bize verilen kartezyen çarpımların kesişiminin eleman sayısı bilgisini kullanalım. Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliğini hatırlayalım.

Bize bu kümenin eleman sayısının iki olduğu söylenmişti. O halde kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü yazabiliriz.

Eleman sayıları pozitif tam sayı olmak zorundadır. Çarpımları iki olduğuna göre iki durum vardır. Ya B'nin eleman sayısı bir ve kesişimin iki, ya da B'nin eleman sayısı iki ve kesişimin birdir.

Fakat bir önceki adımda B kümesinde en az iki eleman olduğunu bulmuştuk. Bu yüzden B'nin eleman sayısı bir olamaz. Yani tek geçerli durum ikinci durumdur.

Böylece B kümesinin tam olarak iki elemandan oluştuğunu ve bu elemanların iki ve beş olduğunu kesinleştirmiş oluyoruz.

Harika! B kümesini bulduğumuza göre elemanlarının toplamını hesaplayabiliriz. İki artı beşten B'nin elemanları toplamı yedidir.

Soruda A, B ve C kümelerinin elemanları toplamının birbirine eşit olduğu söylenmişti. Demek ki A ve C kümelerinin elemanları toplamı da yedi olmak zorundadır.

Ayrıca A ve C kümelerinin kesişiminin eleman sayısı birdir. Bu ortak elemana x diyelim.

Şimdi üç kümenin birleşiminin elemanları toplamı için genel bir formül kuralım.

A birleşim C'nin elemanları toplamını, A ve C'nin toplamlarından ortak eleman olan x'i çıkararak bulabiliriz.

Bunu ana formülümüze yazarsak, birleşimin toplamı yirmi bir eksi x eksi B ile A birleşim C'nin kesişimindeki elemanların toplamı olur.