Kısmi Sıralı Kümeler ve Boole Cebri

Herkese merhaba. Bu soruda doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanmış olan özel bir sıralama bağıntısının, bir kısmen sıralı küme oluşturduğunu ispatlayacağız, ardındansa iki küçük eşittir dört durumunu inceleyeceğiz.

Bunlar sırasıyla yansıma, ters simetri ve geçişme özellikleridir. Haydi ispat adımlarına geçelim.

İlk olarak yansıma özelliği ile başlayalım. İspatlamamız gereken şey, her m doğal sayısı için m küçük eşittir m denkleminin sağlandığıdır.

Bağıntımızın tanımına geri dönersek, bu durum m elemandır m veya m eşittir m anlamına gelir. Kümelerde m eşittir m önermesi her zaman mantıksal olarak doğru bir ifadedir.

Veya bağlacında tek bir tarafın doğru olması, ifadenin tamamını doğru yapmak için yeterlidir. Bu yüzden yansıma özelliği problemsizce sağlanır.

İkinci olarak ters simetri özelliğine geçiyoruz.

Bir eşitsizliğin ters simetrik olması için, m küçük eşit n ve n küçük eşit m şartlarının aynı anda sağlandığı durumda, sadece m eşittir n sonucuna ulaşabilmeliyiz.

Burada bir çelişki aramak adına diyelim ki m, n sayısına eşit olmasın.

O zaman bağıntı tanımımızdaki eşitlik kısmı elenir ve m elemandır n, ve aynı anda n elemandır m olması zorunlu hale gelir.

Ancak modern küme kuramındaki düzenlilik aksiyomuna göre, kümeler arasında bu tarz karşılıklı veya döngüsel bir elemanlık ilişkisi imkansızdır. Bir küme kendi kendisinin dolaylı bir elemanı olamaz.

Bu imkansızlık karşısında, baştaki m eşit değildir n varsayımımız yanlışlanır ve mecburen m eşittir n olmak zorunda kalır. Böylece ters simetri özelliği başarıyla sağlanır.

Sıradaki ve ispatı tamamlayacak olan özelliğimiz, geçişme özelliğidir.

Buradaki başlangıç varsayımımız m küçük eşit n, ve n küçük eşit k olmasıdır. Ulaşmak istediğimiz nokta ise m küçük eşit k eşitliğinin de mecburen sağlandığıdır.