Kısmi Sıralı Küme Gösterimi ve Tanımı

Merhaba! Bu soruda, doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan bir bağıntının kısmi sıralı küme olduğunu ispatlayacağız ve ardından özel bir örneği inceleyeceğiz.

Tanıma göre, m küçük eşittir n olması için m'nin n'nin bir elemanı olması veya m'nin n'ye eşit olması gerekir. Bir bağıntının Kısmi Sıralı Küme olması için üç özelliği sağlaması gerekir: yansıma, ters simetri ve geçişme.

İlk olarak yansıma özelliğine bakalım. Her m doğal sayısı için, m eşittir m olduğundan tanım gereği m küçük eşittir m sağlanır.

İkinci olarak ters simetri özelliğine bakalım. Eğer hem m küçük eşittir n, hem de n küçük eşittir m ise, m eşittir n olmalıdır.

Burada kümeler kuramı mantığını kullanıyoruz. Doğal sayılar inşa edilirken, bir sayının diğerinin elemanı olması onun daha küçük olduğu anlamına gelir. m n'nin elemanıysa ve n m'nin elemanıysa, bu durum kümeler kuramındaki temellik aksiyomuna göre imkansızdır. Dolayısıyla tek yol m'nin n'ye eşit olmasıdır.

Üçüncü özelliğimiz ise geçişme özelliğidir. Eğer m küçük eşittir n ve n küçük eşittir k ise, m küçük eşittir k olduğunu göstermeliyiz.

Von Neumann doğal sayılar inşasında, her doğal sayı kendisinden önceki sayıların kümesidir. Yani eğer m n'nin içinde, n de k'nın içindeyse, m de otomatik olarak k'nın içinde yer alır. Bu da geçişme özelliğini kanıtlar.