Kesişen Çemberlerin Yarıçap İlişkisi

Merhaba Melisa. Bugün seninle birlikte, iki bin yirmi iki yılı AYT sınavında çıkmış bu harika çember sorusunu adım adım çözeceğiz.

İlk olarak, soruda verilen büyük ve küçük çemberlerin yarıçaplarını isimlendirelim. Büyük çemberin başlangıçtaki yarıçapına büyük R, küçük çemberinkine ise küçük r diyelim.

Bu iki çemberin merkezleri arasındaki mesafeyi de d harfi ile gösterelim. Şimdi bu başlangıç durumunu görsel olarak çizelim.

Eda, çemberlerin merkezlerini değiştirmeden yarıçaplarını iki katına çıkardığında elde ettiği iki çemberin sadece bir noktada kesiştiğini, yani teğet olduğunu fark ediyor.

İki çemberin tek bir noktada kesişmesi iki şekilde mümkündür: ya dıştan teğettirler, ya da içten teğettirler. Dıştan teğet iseler yarıçaplar toplamı d ye eşittir, içten teğet iseler yarıçaplar farkı d ye eşittir.

Şimdi, yarıçapların iki katına çıktığı ve bu çemberlerin dıştan teğet olduğu durumu çizerek inceleyelim.

Şimdi de ikinci durumu, yani yarıçapların üç katına çıkarıldığı durumu inceleyelim.

Bu durumda da çemberler yine sadece bir noktada kesişiyor. Yani yine ya dıştan ya da içten teğet olacaklar.

İki durumu birleştirdiğimizde, her iki durumda da aynı teğetlik türünün gerçekleşmesi mümkün değildir. Çünkü eğer iki durumda da dıştan teğet olsalardı, iki katının toplamı da üç katının toplamı da d değerine eşit olmak zorunda kalırdı ki bu imkansızdır.

Benzer şekilde, her iki durumda da içten teğet olsalardı, iki katının farkı ile üç katının farkı d ye eşit olurdu, bu da ancak yarıçapların sıfır ya da eşit olmasıyla mümkündür. Fakat çemberlerimiz farklı büyüklüktedir.

Öyleyse, durumlardan biri dıştan teğet, diğeri ise içten teğet olmak zorundadır. Peki hangisi hangisidir?