Kare ve Dikdörtgen Alan İlişkisi

Selam Elif, gel bu geometri ve en küçük değer problemini beraber inceleyelim.

Problemde bir kenarı a, diğer kenarı b eşittir iki a olan bir ABCD dikdörtgeni verilmiş. Bu dikdörtgenin içine üç köşesi kenarlara değen bir kare çiziliyor.

Karenin alanını minimum yapmak istiyoruz. Dikdörtgeni bir koordinat sistemine yerleştirelim. Sol alt köşe orijin olsun. Yükseklik a, genişlik ise iki a birimdir.

Şimdi karenin üç köşesini kenarlara yerleştirelim. Bir köşe sol kenarda, bir köşe üst kenarda ve bir köşe alt kenarda olsun. Bu durum alanın en küçük olmasını sağlayacaktır.

Şimdi bu durumu matematiksel olarak ifade edelim. Karenin sol kenardaki köşesi sıfıra y olsun. Üst kenardaki köşesi ise x'e a olsun.

Karenin kenar uzunluğuna s diyelim. Birinci kenar vektörü sıfırdan x'e gittiği için x ve y'den a'ya gittiği için a eksi y bileşenlerine sahiptir.

Diğer kenar bu vektöre dik olmalıdır. Bir vektörü doksan derece döndürürsek a eksi y'ye eksi x vektörünü elde ederiz. Bu bizi alt kenardaki üçüncü köşeye götürür.

Bu durumda üçüncü köşe olan P üçün koordinatları a eksi y'ye y eksi x olur. P üç noktası alt kenarda olduğu için y bileşeni sıfır olmalıdır.

Buradan y eşittir x sonucuna varırız. Yani karenin sol ve üst kenarlardaki uzaklıkları birbirine eşittir.

Artık alanı tek bir değişken cinsinden yazabiliriz. Karenin alanı, kenar uzunluğunun karesidir.