Kafes Kavramı ve Soğurma Yasası Kanıtı

Merhaba! Bu videoda kafes, yani lattice kavramını açıklayacak, bir örnek verecek ve ardından temel bir kafes eşitliğini ispatlayacağız.

İlk olarak kafes kavramını tanımlayalım. Bir kafes, üzerindeki her eleman çiftinin hem bir en küçük üst sınıra yani supremumuna, hem de bir en büyük alt sınıra yani infimumuna sahip olduğu bir kısmi sıralı kümedir.

Şimdi buna günlük hayattan veya matematikten klasik bir örnek verelim. Pozitif tam sayıların bölünebilme bağıntısına göre sıralandığı yapıyı düşünelim.

Bu yapıda, iki sayının infimumu onların en büyük ortak bölenidir. Supremumu ise en küçük ortak katlarıdır. Her tam sayı çifti için bu değerler mevcut olduğundan, bu bir kafestir.

Şimdi sorunun ikinci kısmına geçelim ve absorpsiyon yani yutma özelliğini gösterelim. Her x ve y elemanı için x meet y ile x'in join işleminin sonucunun x'e eşit olduğunu ispatlamalıyız.

İspata başlamadan önce join ve meet işlemlerinin tanımlarını hatırlayalım. Bir a elemanı, a ve b'nin join işleminden her zaman küçük veya eşittir. Ayrıca meet işlemi de bileşenlerinden her zaman küçük veya eşittir.

Eşitliği ispatlamak için iki yönlü bir kapsama veya sıralama göstermeliyiz. İlk olarak, birinci kuralımızı kullanarak x ile herhangi bir ifadenin join sonucunun, x'ten büyük veya eşit olduğunu biliyoruz.